[论文解读] Existence and concentration of ground state solutions for a critical nonlocal Schrödinger equation in $\R^2$

Claudianor O. Alves, Daniele Cassani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 24

一句话总结

本文在 $ \mathbb{R}^2 $ 中建立了带奇异摄动参数 $ \varepsilon $ 的临界非局部薛定谔方程的基态解的存在性与集中性，其中非线性项在 Trudinger-Moser 意义下表现出临界指数增长。通过变分法与集中紧致性论证，作者证明了在适当假设非线性项与势函数的条件下，当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，解会集中在势函数 $ V(x) $ 的极小点处。

ABSTRACT

We study the following singularly perturbed nonlocal Schrödinger equation $$ -\vr^2Δu +V(x)u =\vr^{μ-2}\Big[\frac{1}{|x|^μ}\ast F(u)\Big]f(u) \quad \mbox{in} \quad \R^2, $$ where $V(x)$ is a continuous real function on $\R^2$, $F(s)$ is the primitive of $f(s)$, $0

研究动机与目标

• 为 $ \mathbb{R}^2 $ 中具有临界指数非线性的奇异摄动非局部薛定谔方程建立基态解的存在性。
• 分析当摄动参数 $ \varepsilon \to 0 $ 时，这些解的集中行为。
• 将变分法推广至二维 Trudinger-Moser 设置下具有临界增长的非局部方程。
• 证明在半经典极限下，解会集中在势函数 $ V(x) $ 的局部极小点处。

提出的方法

• 采用变分法最小化 $ \mathbb{R}^2 $ 中非局部薛定谔方程相关的能量泛函。
• 利用 Trudinger-Moser 不等式处理临界非线性项，以控制二维空间中的指数增长。
• 使用惩罚技巧控制极小化序列的行为，确保紧致性。
• 应用集中紧致性论证与 Moser 型估计，以控制解的 $ L^\infty $ 范数。
• 通过变量变换 $ v = u(\cdot / \varepsilon) $ 将奇异摄动问题转化为 $ \mathbb{R}^2 $ 中的固定问题，便于分析 $ \varepsilon \to 0 $ 时的极限行为。
• 证明依赖于解序列的有界性与一致收敛性，其最大点收敛至 $ V(x) $ 的极小点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \varepsilon $-依赖非线性项与临界指数增长条件下，$ \mathbb{R}^2 $ 中临界非局部薛定谔方程是否存在基态解？
• RQ2 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，解在集中与局域化方面如何表现？
• RQ3 在半经典极限下，解的集中性是否可与势函数 $ V(x) $ 的极小点相联系？
• RQ4 Trudinger-Moser 型非线性项在 $ \mathbb{R}^2 $ 中确保解的存在性与紧致性方面起什么作用？
• RQ5 解的 $ L^\infty $ 范数是否一致远离零，从而保证非平凡的集中性？

主要发现

• 本文在临界指数增长条件下，证明了给定非局部薛定谔方程在 $ \mathbb{R}^2 $ 中存在基态解。
• 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，解会集中在势函数 $ V(x) $ 的局部极小点处，且解的最大点收敛至满足 $ V(y) = V_0 $ 的点 $ y $。
• 解的 $ L^\infty $ 范数被正的常数 $ \delta_0 $ 一致从下方有界，确保了非退化的集中性。
• 集中性在 $ n $ 上是一致的，且满足 $ \lim_{|x| \to \infty} v_n(x) = 0 $ 对所有 $ n $ 一致成立，确认了解在空间上的衰减性。
• 证明了当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，极限问题适定，且解收敛至 $ \mathbb{R}^2 $ 中非摄动方程的解。
• 作者证明了解序列 $ \{v_n\} $ 在 $ L^\infty $ 中有界，这对证明集中性与紧致性至关重要。