[论文解读] Existence and concentration of solution for a class of fractional Hamiltonian systems with subquadratic potential

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文利用临界点理论，特别是山路定理，证明了一类具有次二次势的分数阶哈密顿系统的非平凡弱解的存在性。当参数 λ → ∞ 时，解在矩阵 L(t) 恒为零的有界区间 I 内集中，且在 H^α(ℝ) 中强收敛于 I 上的 Dirichlet 问题的非平凡解。

ABSTRACT

This article study the fractional Hamiltonian systems \begin{eqnarray}\label{00} {_{t}}D_{\infty}^α({_{-\infty}}D_{t}^αu) + λL(t)u = abla W(t, u), \;\;t\in \mathbb{R}, \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $λ>0$ is a parameter, $L\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n imes n})$ and $W \in C^{1}(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^n, \mathbb{R})$. Unlike most other papers on this problem, we require that $L(t)$ is a positive semi-definite symmetric matrix for all $t\in \mathbb{R}$, that is, $L(t) \equiv 0$ is allowed to occur in some finite interval $\mathbb{I}$ of $\mathbb{R}$. Under some mild assumptions on $W$, we establish the existence of nontrivial weak solution, which vanish on $\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}$ as $λ o \infty,$ and converge to $ ilde{u}$ in $H^α(\mathbb{R})$; here $ ilde{u} \in E_{0}^α$ is nontrivial weak solution of the Dirichlet BVP for fractional Hamiltonian systems on the finite interval $\mathbb{I}$.

研究动机与目标

• 建立具有次二次势和参数 λ 的分数阶哈密顿系统存在非平凡弱解。
• 分析当 λ → ∞ 时，L(t) 允许在有界区间上消失时解的集中行为。
• 证明解在 L(t) ≡ 0 的有界区间 I 内集中，并收敛于 I 上 Dirichlet 问题的非平凡解。
• 将临界点理论的应用扩展至具有退化或半正定势矩阵 L(t) 的系统，包括 L(t) = 0 在非平凡区间上的情形。

提出的方法

• 使用阶数 α ∈ (1/2, 1) 的左、右 Liouville-Weyl 分数阶导数，建立分数阶哈密顿系统。
• 在分数阶 Sobolev 空间 X_λ 上定义能量泛函 I_λ，其中包含参数 λ 和矩阵 L(t)。
• 应用山路定理，证明当 λ > Λ 时，I_λ 存在一个非平凡临界点 u_λ。
• 利用集中-紧致性原理和消失引理，分析当 λ → ∞ 时解的渐近行为。
• 在 L(t) ≡ 0 于闭区间 I 的条件下，证明 u_λ 强收敛于 E_0^α（H^α(ℝ) 的紧支集子空间）中的非平凡弱解 ˜u。
• 利用一致有界性和能量估计，证明 u_λ 在 X_λ 和 L^p(ℝ)（对所有 2 ≤ p < ∞）中强收敛于 ˜u。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有次二次势的分数阶哈密顿系统存在非平凡弱解？
• RQ2 当参数 λ → ∞ 且 L(t) 允许在有界区间上消失时，解的行为如何？
• RQ3 解是否可能在 L(t) ≡ 0 的有界区域内集中？若能，其极限收敛于何处？
• RQ4 L(t) 的退化性（即 L(t) = 0 在正测度集上）在解的存在性与集中性中起何作用？
• RQ5 极限解 ˜u 是否为 L(t) ≡ 0 的区间 I 上 Dirichlet 问题的非平凡弱解？

主要发现

• 当 λ > Λ 时，能量泛函 I_λ 存在一个临界点 u_λ，即为分数阶哈密顿系统 (1.1) 的非平凡弱解。
• 解 u_λ 满足 I_λ(u_λ) = c_λ < 0，通过山路几何结构确认其非平凡性与存在性。
• 当 λ → ∞ 时，解序列 u_λ 在 X_λ 中强收敛于 E_0^α 中的函数 ˜u，该函数是区间 I 上 Dirichlet 问题的非平凡弱解。
• 极限解 ˜u 在 I 上有紧支集，并在 I 上满足具有零边界条件的分数阶欧拉-拉格朗日方程。
• u_λ → ˜u 在 H^α(ℝ) 和 L^p(ℝ)（对所有 2 ≤ p < ∞）中成立，且在 X_λ 的范数下强收敛。
• 当 λ → ∞ 时，u_λ 几乎处处在 ℝ ∖ I 上为零，证实了解在 L(t) ≡ 0 的区间 I 内集中。