[论文解读] Existence and continuation of solutions of Hilfer fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文通过不动点技巧和积分重构，建立了希尔弗分数阶微分方程解的局部存在性与延拓定理。在利普希茨条件与增长条件下，证明了解的全局存在性，通过希尔弗算子统一了黎曼-刘维尔与卡波托导数的框架，该算子在两者之间插值，从而推广了先前针对黎曼-刘维尔与卡波托导数的研究结果。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and continuation of solution to general fractional differential equation with Hilfer fractional derivative. First we establish new local existence theorems. Then we derive the continuation theorems. With the help of continuation theorems derived in this paper, several global existence results are constructed.

研究动机与目标

• 建立具有广义初值条件的希尔弗分数阶微分方程的局部存在性定理。
• 推导可将局部解延拓至整个区间 [0, ∞) 的延拓定理。
• 通过在希尔弗导数框架下统一两者，将现有针对黎曼-刘维尔与卡波托分数阶方程的结果进行推广。
• 在空间 $ C_{1-eta}[0,\infty) $ 中，为解的全局存在性与唯一性提供充分条件。
• 展示延拓定理在涉及分数阶动力学的实际问题中的适用性。

提出的方法

• 使用插值于黎曼-刘维尔与卡波托导数之间的希尔弗分数阶导数 $ D_{0^+}^{eta,eta} $ 来表述初值问题。
• 利用黎曼-刘维尔分数阶积分与希尔弗导数的定义，将微分方程转化为等价的积分方程。
• 在加权空间 $ C_{1-eta}[0,T] $ 中应用不动点定理，证明解的局部存在性。
• 利用解算子的连续性与有界性，推导出可将解延拓至任意有限区间之外的延拓定理。
• 应用引理 4.2（一种分数阶积分的格朗沃尔型不等式），对加权范数 $ t^{1-eta}|x(t)| $ 进行控制，确保在有限区间上有界。
• 通过证明：若解在任意区间 $[\tau, \nu)$ 上有界，则 $ \nu = \infty $，从而建立全局存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔弗分数阶微分方程的解在何种条件下存在局部解？
• RQ2 如何将局部解延拓至 $[0, \infty)$ 上的全局解？
• RQ3 希尔弗导数的延拓定理在何种意义上推广了黎曼-刘维尔与卡波托导数的相应结果？
• RQ4 何种增长或利普希茨条件可确保解在 $ C_{1-eta}[0,\infty) $ 中的全局存在性与唯一性？
• RQ5 希尔弗导数如何解决卡波托与黎曼-刘维尔导数在建模粘弹性材料时的物理不一致性？

主要发现

• 通过在加权空间 $ C_{1-eta}[0,T] $ 中使用不动点论证，建立了希尔弗分数阶初值问题解的局部存在性。
• 延拓定理 2 表明：若解在某个 $ \tau > 0 $ 的区间 $[\tau, \nu)$ 上有界，则 $ \nu = \infty $，意味着解可全局存在。
• 在增长条件 $ |f(t,x)| \leq l(t)m(|x|) + p(t) $ 且 $ m(r) \leq r $ 下，利用分数阶格朗沃尔型不等式，证明了解的全局存在性。
• 在利普希茨条件 $ |f(t,x) - f(t,y)| \leq l(t)|x - y| $ 下，证明了解的唯一性，且解属于 $ C_{1-eta}[0,\infty) $。
• 结果推广了先前关于黎曼-刘维尔与卡波托初值问题的研究，因为当 $ \beta = 0 $ 与 $ \beta = 1 $ 时，这些情况分别可作为特例恢复。
• 证明延拓定理在实际问题中比早期结果更具适用性，因其可更广泛地应用于有界解。