[论文解读] Existence and Exponential Growth of Global Classical Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equations with Slip Boundary Conditions in 3D Bounded Domains

Guocai Cai, Jing Li|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 35被引用 15

一句话总结

本文在有界区域中建立了三维可压缩纳维-斯托克斯方程在滑移边界条件下经典解的全局存在性与指数增长，即使初始密度含有真空状态亦成立。通过推导新的边界积分估计，并在初始能量较小的条件下适应能量方法，证明了经典解可全局存在，且若初始存在真空，则密度振荡随时间呈指数增长——这是首次针对具有真空的一般三维有界区域获得此类结果。

ABSTRACT

We investigate the barotropic compressible Navier-Stokes equations with slip boundary conditions in a three-dimensional (3D) simply connected bounded domain, whose smooth boundary has a finite number of two-dimensional connected components. For any adiabatic exponent bigger than one, after discovering some new estimates on boundary integrals related to the slip boundary condition, we prove that both the weak and classical solutions to the initial-boundary-value problem of this system exist globally in time provided the initial energy is suitably small. Moreover, the density has large oscillations and contains vacuum states. Finally, it is also shown that for the classical solutions, the oscillation of the density will grow unboundedly in the long run with an exponential rate provided vacuum appears (even at a point) initially. This is the first result concerning the global existence of classical solutions to the compressible Navier-Stokes equations with density containing vacuum states initially for general 3D bounded smooth domains.

研究动机与目标

• 建立三维有界区域中具有滑移边界条件的可压缩纳维-斯托克斯方程经典解的全局存在性。
• 解决初始密度包含真空态时经典解存在性的开放问题。
• 分析此类条件下密度振荡的长期行为。
• 将理论推广至非平面或对称区域，适用于具有有限边界分量的一般光滑有界三维区域。

提出的方法

• 推导由滑移边界条件产生的边界积分的新估计，这对能量估计至关重要。
• 在初始能量较小的条件下，适应能量方法与高阶估计，即使存在大振荡与真空状态亦成立。
• 通过引理6.1引入修正的Korn型不等式，以处理非单连通或轴对称区域。
• 引入修正的速度场 $ v = \dot{u} + (u \cdot \nabla n) \times u^\perp $，以控制动量方程中的非线性项。
• 应用Young不等式与Gronwall型估计，控制能量范数的增长。
• 在边界积分估计中引入矩阵 $ B = A + 2D(n) $，以确保在 $ H^1 $-范数下的强制性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度含有真空时，三维可压缩纳维-斯托克斯方程在一般有界区域中具有滑移边界条件的全局经典解是否可能存在？
• RQ2 此类解中密度振荡的长期行为如何？
• RQ3 如何改进边界积分估计以处理具有广义对称矩阵 $ A $ 的滑移条件？
• RQ4 能量方法能否推广至非单连通或非轴对称的区域？

主要发现

• 在初始能量足够小的条件下，三维有界区域中光滑且具有有限边界分量边界的经典解可全局存在。
• 初始密度可含真空（甚至在孤立点处），且允许存在大振荡。
• 对于经典解，若初始存在真空，则密度振荡随时间无界增长，且呈指数速率。
• 该结果对任意绝热指数 $ \gamma > 1 $ 成立，扩展了以往仅限于 $ \gamma \geq 9/5 $ 或 $ \gamma > 3/2 $ 的结果。
• 通过引入涉及 $ B = A + 2D(n) $ 的修正边界积分项，克服了在非单连通区域中标准Korn不等式缺失的问题。
• 分析通过在给定边界条件下成立的新范数等价关系，建立了能量泛函的强制性。