[论文解读] Existence and maximal $L^{p}$-regularity of solutions for the porous medium equation on manifolds with conical singularities

Nikolaos Roidos, Elmar Schrohe|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文建立了在具有圆锥奇点的流形上，多孔介质方程的短时解的存在性、唯一性以及最大 $L^p$-正则性。通过在梅林-索伯列夫空间上使用有界虚幂和 $R$-扇形性技术处理圆锥微分算子，证明了在给定数据和定义域的权重与可积性条件下，解在圆锥顶点附近表现出受控的渐近行为。

ABSTRACT

We consider the porous medium equation on manifolds with conical singularities and show existence, uniqueness and maximal $L^{p}$-regularity of a short time solution. In particular, we obtain information on the short time asymptotics of the solution near the conical point. Our method is based on bounded imaginary powers results for cone differential operators on Mellin-Sobolev spaces and $R$-sectoriality perturbation techniques.

研究动机与目标

• 在具有圆锥奇点的流形上建立多孔介质方程的存在性与最大 $L^p$-正则性。
• 分析解在圆锥点附近的短时渐近行为。
• 将拉普拉斯算子的最大正则性理论推广至具有圆锥奇点的负阶梅林-索伯列夫空间。
• 在圆锥微分算子的背景下，控制初值的迹空间（插值空间）。
• 通过线性化最大正则性技术，将克莱门特与李定理应用于拟线性抛物问题。

提出的方法

• 利用梅林-索伯列夫空间 $\mathcal{H}^{s,\gamma}_p(\mathbb{B})$ 建模在圆锥顶点处具有权重 $\gamma$ 的函数空间。
• 构建拉普拉斯算子的闭扩张 $\underline{\Delta}_s$，其定义域为 $\mathcal{H}^{s+2,\gamma+2}_p(\mathbb{B}) \oplus \mathbb{C}$，以确保最大 $L^p$-正则性。
• 将有界虚幂结果和 $R$-扇形性扰动技术应用于线性化问题。
• 通过冻结系数的圆锥退化算子构造 $R$-扇形预解算子，使用诺伊曼级数。
• 利用插值理论将迹空间 $Y_{1/q,q}$ 嵌入到 $Y_0$ 上的乘子Banach代数中。
• 通过验证线性化算子所需条件，将克莱门特与李定理应用于拟线性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有圆锥奇点的流形上为多孔介质方程建立最大 $L^p$-正则性？
• RQ2 圆锥奇点如何影响解在短时内的渐近行为？
• RQ3 在负阶梅林-索伯列夫空间中，权重 $\gamma$、$p$ 和 $q$ 的哪些条件可确保拉普拉斯算子的最大正则性？
• RQ4 在圆锥微分算子的背景下，如何表征初值的迹空间？
• RQ5 在线性化算子 $-u_0^{m-1}\underline{\Delta}$ 满足什么条件时具有最大 $L^q$-正则性？

主要发现

• 拉普拉斯算子在 $\mathcal{H}^{s+2,\gamma+2}_p(\mathbb{B}) \oplus \mathbb{C}$ 上存在闭扩张 $\underline{\Delta}_s$，对所有 $s \in \mathbb{R}$ 及合适的 $\gamma$ 具有最大 $L^p$-正则性。
• 当 $\dim(\mathbb{B}) \neq 3$ 且满足 $\gamma$、$p$ 和 $q$ 的条件时，若初值 $u_0 \in Y_{1/q,q}$ 严格为正，则算子 $-u_0^{m-1}\underline{\Delta}$ 具有最大 $L^q$-正则性。
• 多孔介质方程的解 $u$ 在某个 $T > 0$ 内唯一存在于 $L^q(0,T; Y_1) \cap W^{1,q}(0,T; Y_0)$ 中。
• 迹空间 $Y_{1/q,q}$ 嵌入到 $Y_0$ 上的乘子Banach代数中，确保了非线性项所需的正则性。
• 通过加权梅林-索伯列夫空间和渐近空间精确控制了解在顶点附近的性质，从而处理了圆锥奇点。
• 结果对 $\dim(\mathbb{B}) \geq 1$ 成立，且对 $\gamma$ 和 $q$ 有明确条件以保证 $R$-扇形性和最大正则性。