[论文解读] Existence and regularity for weak solutions for a fluid interacting with a non-linear shell in 3D

Boris Muha, Sebastian Schwarzacher|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 34被引用 17

一句话总结

本文建立了三维流固耦合问题中弱解的存在性及其更高正则性的结果，该问题涉及不可压缩的Navier-Stokes方程与非线性Koiter壳模型的耦合。通过引入新颖的分析工具，利用流体耗散来控制非耗散的固体力学项，作者获得了与近似无关的先验估计，从而实现对流固系统的一般化Aubin-Lions紧致性结果。

ABSTRACT

We study the unsteady incompressible Navier-Stokes equations in three dimensions interacting with a non-linear flexible shell of Koiter type. This leads to a coupled system of non-linear PDEs where the moving part of the boundary is an unknown of the problem. The known existence theory for weak solutions is extended to non-linear Koiter shell models. We introduce a-priori estimates that reveal higher regularity of the shell displacement beyond energy estimates. These are essential for non-linear Koiter shell models, since such shell models are non-convex (w.r.t. terms of highest order). The estimates are obtained by introducing new analytical tools that allow to exploit dissipative effects of the fluid for the (non-dissipative) solid. The regularity result depends on the geometric constitution alone and is independent of the approximation procedure; hence it holds for arbitrary weak solutions. The developed tools are further used to introduce a generalized Aubin-Lions type compactness result suitable for fluid-structure interactions.

研究动机与目标

• 将已知的弱解存在性理论扩展至流固耦合问题中非线性Koiter壳模型的情形。
• 解决Koiter壳模型中非凸性带来的挑战，该非凸性使得标准能量估计无法获得更高正则性。
• 开发分析工具，利用流体耗散来控制非耗散的固体力学行为。
• 建立仅依赖于几何构成的正则性结果，而不依赖于近似方法。
• 将Aubin-Lions紧致性引理由推广至具有非线性、非凸壳体的流固耦合问题中。

提出的方法

• 推导出超越标准能量界之外的壳体位移先验估计，揭示其更高正则性。
• 引入新的分析技术，以利用流体对非耗散固体力学系统产生的耗散效应。
• 利用壳体的几何结构，推导出与近似过程无关的估计。
• 构建一种适用于具有非线性、非凸壳体的流固系统的广义Aubin-Lions型紧致性结果。
• 将耦合系统表述为具有移动边界（未知边界）的非线性偏微分方程系统。
• 应用泛函分析工具，以处理Koiter壳模型引起的非线性和非凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有移动边界的三维流固耦合问题中，若涉及非线性Koiter壳模型，弱解是否存在？
• RQ2 当Koiter模型在高阶项上为非凸时，如何建立壳体位移的更高正则性？
• RQ3 是否可以利用流体耗散来控制系统中固体力学部分的非耗散动力学？
• RQ4 弱解的正则性在多大程度上依赖于几何性质，而非数值近似方法？
• RQ5 能否为具有非线性、非凸固体模型的流固耦合系统构建广义的Aubin-Lions紧致性结果？

主要发现

• 推导出揭示壳体位移超越标准能量估计的更高正则性的先验估计。
• 正则性结果与近似过程无关，仅依赖于壳体的几何构成。
• 开发了新颖的分析工具，使流体耗散能够有效控制非耗散的固体力学项。
• 该方法使弱解存在性理论得以推广至非线性Koiter壳模型。
• 构建了适用于具有非线性、非凸固体的流固耦合问题的广义Aubin-Lions紧致性结果。
• 该框架适用于任意弱解，而不仅限于特定近似方案所得的解。