[论文解读] Existence and Regularity of Optimal Shapes for Elliptic Operators with Drift

Emmanuel Russ, Baptiste Trey+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 57被引用 22

一句话总结

本文在体积约束和漂移范数约束下，建立了椭圆算子 $-\Delta + V\cdot\nabla$ 的第一特征值最优形状的存在性与正则性。通过 $\gamma$-收敛与自由边界方法，证明了最优区域是开集，其边界具有 $C^{1,\alpha}$ 正则性，且奇异集的 Hausdorff 维数受维度 $d$ 控制，存在一个通用临界维度 $d^* \in \{5,6,7\}$。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the study of shape optimization problems for the first eigenvalue of the elliptic operator with drift L= - Δ + V(x) · ∇ with Dirichlet boundary conditions, where V is a bounded vector field. In the first instance, we prove the existence of a principal eigenvalue λ1(Ω , V) for a bounded quasi-open set Ω which enjoys similar properties to the case of open sets. Then, given m> 0 and τ≥ 0 , we show that the minimum of the following non-variational problem min{λ1(Ω,V):Ω⊂Dquasi-open,|Ω|≤m,‖V‖L∞≤τ}.is achieved, where the box D⊂ Rd is a bounded open set. The existence when V is fixed, as well as when V varies among all the vector fields which are the gradient of a Lipschitz function, are also proved. The second interest and main result of this paper is the regularity of the optimal shape Ω ∗ solving the minimization problem min{λ1(Ω,∇Φ):Ω⊂Dquasi-open,|Ω|≤m},where Φ is a given Lipschitz function on D. We prove that the optimal set Ω ∗ is open and that its topological boundary ∂Ω ∗ is composed of a regular part, which is locally the graph of a C1,α function, and a singular part, which is empty if d< d∗, discrete if d= d∗ and of locally finite Hd-d∗ Hausdorff measure if d> d∗, where d∗∈ { 5 , 6 , 7 } is the smallest dimension at which there exists a global solution to the one-phase free boundary problem with singularities. Moreover, if D is smooth, we prove that, for each x∈ ∂Ω ∗∩ ∂D, ∂Ω ∗ is C1 , 1 / 2 in a neighborhood of x.

研究动机与目标

• 将谱理论从开区域推广至准开集 $\Omega$ 和有界漂移场 $V$，建立其主特征值 $\lambda_1(\Omega, V)$ 的存在性。
• 在体积与 $L^\infty$-范数约束下，证明最小化 $\lambda_1(\Omega, V)$ 的最优区域 $\Omega^*$ 与漂移场 $V^*$ 的存在性。
• 当 $V = \nabla\Phi$ 且 $\Phi$ 为 Lipschitz 位势时，分析自由边界 $\partial\Omega^* \cap D$ 的正则性，特别是其正则部分与奇异部分的结构。
• 证明最优集为开集且具有有限全变差，且边界正则性依赖于环境维度 $d$，存在一个通用临界维度 $d^* \in \{5,6,7\}$。
• 将经典 Dirichlet Laplacian 结果推广至带漂移情形，包括当 $D$ 为 $C^{1,1}$ 时，边界正则性可延伸至 $\partial D$。

提出的方法

• 利用 $\gamma$-收敛与弱-$\gamma$-收敛，将特征值泛函 $\lambda_1(\cdot, V)$ 连续延拓至准开集类。
• 应用变分技术与内部变分法，推导特征值最小化问题的最优性条件。
• 引入带测度约束的自由边界问题，其中特征函数 $u$ 满足 $-\Delta u + V\cdot\nabla u = \lambda_1 u$ 在 $\Omega^*$ 内，且在 $\partial\Omega^*$ 上 $u=0$。
• 通过爆破分析与单调性公式，研究特征函数在自由边界附近的性质，并对奇异集进行分类。
• 采用加权 Poincaré 型不等式与能量密度的加倍估计，证明密度界与特征函数的非退化性。
• 应用 epiperimetric 不等式框架（参照 [37] 精神），在低维情形建立自由边界 $C^{1,\alpha}$ 正则性，在高维情形获得维数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 主特征值 $\lambda_1(\Omega, V)$ 在准开集 $\Omega$ 上是否存在，且是否具备类似谱性质？
• RQ2 在约束 $|\Omega| \leq m$ 与 $\|V\|_{L^\infty} \leq \tau$ 下，是否存在 $\lambda_1(\Omega, V)$ 的极小化器 $\Omega^*$？
• RQ3 当 $V = \nabla\Phi$ 且 $\Phi$ 为 Lipschitz 位势时，自由边界 $\partial\Omega^* \cap D$ 的正则性如何？
• RQ4 自由边界 $\partial\Omega^* \cap D$ 的奇异集结构如何依赖于维度 $d$？
• RQ5 当 $D$ 为 $C^{1,1}$ 时，边界正则性是否可延伸至 $\partial D$？

主要发现

• 对任意准开集 $\Omega \subset D$ 与有界向量场 $V$，主特征值 $\lambda_1(\Omega, V)$ 均有定义且为实数。
• 在准开集类中，最小化问题 $\min \{ \lambda_1(\Omega, V) : |\Omega| \leq m, \|V\|_{L^\infty} \leq \tau \}$ 的解 $(\Omega^*, V^*)$ 存在。
• 当 $V = \nabla\Phi$ 且 $\Phi$ 为 Lipschitz 时，最优集 $\Omega^*$ 为开集且具有有限全变差。
• 自由边界 $\partial\Omega^* \cap D$ 可分解为正则部分（局部 $C^{1,\alpha}$）与奇异部分，其 Hausdorff 维数至多为 $d - d^*$，其中 $d^* \in \{5,6,7\}$ 为存在全局奇异解的最小维度。
• 若 $D$ 为 $C^{1,1}$，则 $\partial\Omega^*$ 在 $\partial D \cap \partial\Omega^*$ 附近为 $C^{1,1/2}$，且正则部分包含内部正则部分与边界正则部分。
• 最优集 $\Omega^*$ 饱和了体积约束：$|\Omega^*| = m$，且与 $\lambda_1(\Omega^*, \nabla\Phi)$ 关联的特征函数 $u$ 满足加倍不等式与非退化条件，表明在 $D$ 中每一点处均有正的下密度。