[论文解读] Existence and regularity of solution for a Stochastic Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with unbounded noise diffusion

Dimitra C. Antonopoulou, Geogia Karali+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文在扩散系数σ满足次线性增长（|σ(u)| ≤ C(1 + |u|^α)，其中α ∈ (0, 1/9)）且具有乘法空间-时间白噪声的条件下，建立了随机Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程的存在性与路径正则性。通过半群理论与分解方法，证明了解的正则性取决于初值：轨迹在空间上几乎必然具有H"older连续性，指数为β ∧ (2 − d)/2，在时间上具有β/4 ∧ (1/2 − d/8)的H"older连续性，将先前仅适用于有界扩散系数的结果推广至无界扩散系数的情形。

ABSTRACT

The Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation with noise is a simplified mean field model of stochastic microscopic dynamics associated with adsorption and desorption-spin flip mechanisms in the context of surface processes. For such an equation we consider a multiplicative space-time white noise with diffusion coefficient of sub-linear growth. Using technics from semigroup theory, we prove existence, and path regularity of stochastic solution depending on that of the initial condition. Our results are also valid for the stochastic Cahn-Hilliard equation with unbounded noise diffusion, for which previous results were established only in the framework of a bounded diffusion coefficient. We prove that the path regularity of stochastic solution depends on that of the initial condition, and are identical to those proved for the stochastic Cahn-Hilliard equation and a bounded noise diffusion coefficient. If the initial condition vanishes, they are strictly less than 2-d/2 in space and 1/2-d/8 in time. As expected from the theory of parabolic operators in the sense of Petrovski, the bi-Laplacian operator seems to be dominant in the combined model.

研究动机与目标

• 建立具有乘法空间-时间白噪声的随机Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程解的存在性与路径正则性。
• 将先前仅适用于有界扩散系数的结论推广至具有次线性增长的无界扩散系数情形。
• 根据初值的正则性与空间维数d，刻画解轨迹的正则性。
• 证明在联合模型中，双调和算子主导了解的正则性性质，与Petrovskii关于抛物型算子的理论一致。

提出的方法

• 采用半群理论在希尔伯特空间框架下分析随机演化方程。
• 利用Galerkin逼近构造近似解并证明收敛性。
• 应用分解方法处理具有无界σ的随机积分，从而获得改进的正则性估计。
• 利用Burkholder不等式与Garsia-Rodemich-Rumsey引理推导矩估计及解路径的H"older连续性。
• 引入停时Tn对解进行局部化，并通过条件(C)与(\tilde{C}_α)下的矩界控制σ(un)的增长。
• 证明随机积分L(x,t)几乎必然属于H"older空间Cλ,μ([0,T]×D)，其中λ < 1/2 − d/8且μ < 2 − d/2。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声扩散系数σ无界但满足次线性增长时，能否建立随机Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程的存在性与路径正则性？
• RQ2 解轨迹的正则性如何依赖于初值u0的正则性与空间维数d？
• RQ3 当σ为Lipschitz且次线性增长时，解在空间与时间上的最优H"older正则性为何？
• RQ4 在联合的Cahn-Hilliard/Allen-Cahn模型中，双调和算子是否如抛物型理论所预期的那样主导解的正则性性质？
• RQ5 与有界扩散系数情形的先前方法相比，分解方法能否改善路径正则性估计？

主要发现

• 在给定的σ与u0假设下，随机Cahn-Hilliard/Allen-Cahn方程的解全局存在且路径连续。
• 若初值u0连续，则解在空间与时间上几乎必然具有连续轨迹。
• 若u0为β-H"older连续（β ∈ (0,1)），则解轨迹在空间上几乎必然具有指数为β ∧ (2 − d)/2的H"older连续性，在时间上具有指数为β/4 ∧ (1/2 − d/8)的H"older连续性。
• 当初值为零时，解的路径正则性在空间上严格小于2 − d/2，在时间上严格小于1/2 − d/8。
• 双调和算子主导了解的正则性性质，与Petrovskii理论中抛物型算子的结论一致。
• 通过精细的随机分析技术，将先前针对有界扩散系数的工作推广至更一般的无界σ且满足次线性增长的情形。