[论文解读] Existence and stability of cylindrical transonic shock solutions under three dimensional perturbations

Shangkun Weng, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2023

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 4

一句话总结

本文在不施加背景激波限制的前提下，通过一般流入流和出口压力的扰动，建立了三维柱状跨音速激波解的存在性与非线性稳定性。利用稳态欧拉方程组的新型形变-旋度分解，唯一地通过代数兰金-休克条件确定了激波位置与强度，并推导出具有倾斜法向边界条件的泊松方程，实现了所有物理量（包括速度、压力、熵和伯努利函数）的最优正则性。

ABSTRACT

We establish the existence and stability of cylindrical transonic shock solutions under three dimensional perturbations of the incoming flows and the exit pressure without any further restrictions on the background transonic shock solutions. The strength and position of the perturbed transonic shock are completely free and uniquely determined by the incoming flows and the exit pressure. The optimal regularity is obtained for all physical quantities, and the velocity, the Bernoulli's quantity, the entropy and the pressure share the same regularity. The approach is based on the deformation-curl decomposition to the steady Euler system introduced by the authors to decouple the hyperbolic and elliptic modes effectively. However, one of the key elements in application of the deformation-curl decomposition is to find a decomposition of the Rankine-Hugoniot conditions, which shows the mechanism of determining the shock front uniquely by an algebraic equation and also gives an unusual second order differential boundary conditions on the shock front for the first order deformation-curl system. After homogenizing the curl system and introducing a potential function, this unusual condition on the shock front becomes the Poisson equation with homogeneous Neumann boundary condition on the intersection of the shock front and the cylinder walls from which an oblique boundary condition for the potential function can be uniquely derived.

研究动机与目标

• 在流入流和出口压力的任意扰动下，建立三维柱状跨音速激波解的存在性与结构稳定性。
• 消除以往对背景跨音速激波解的限制，实现激波强度与位置的自由且唯一确定。
• 在相同光滑性条件下，实现速度、压力、熵和伯努利函数等所有物理量的最优正则性。
• 通过稳态欧拉系统形变-旋度分解，为处理跨音速流的双曲-椭圆混合性质建立新框架。
• 从兰金-休克条件中推导出激波面上的新型二阶微分边界条件，通过势函数形式化实现唯一解。

提出的方法

• 引入稳态可压缩欧拉方程组的形变-旋度分解，以解耦双曲与椭圆模式。
• 推导兰金-休克条件的新代数形式，通过隐式方程唯一确定激波面位置。
• 为一阶形变-旋度系统在激波面上构造一种非典型的二阶微分边界条件，并进行齐次化处理。
• 引入势函数，将激波面边界条件转化为激波与圆柱壁交线上的齐次诺伊曼条件的泊松方程。
• 从激波条件中推导出势函数的倾斜边界条件，确保解的唯一性与正则性。
• 在合适的函数空间中应用不动点论证，证明在流入流与出口压力扰动下的存在性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维柱状喷管中，能否证明跨音速激波解在流入流与出口压力的任意扰动下依然存在且保持稳定？
• RQ2 如何在不施加背景解约束的前提下，仅通过边界数据唯一确定激波面位置与强度？
• RQ3 在这样的跨音速激波构型中，速度、压力、熵和伯努利函数的最优正则性是什么？
• RQ4 如何重新表述兰金-休克条件，以从一阶系统中导出激波面上的二阶微分边界条件？
• RQ5 形变-旋度分解能否扩展至处理具有完整三维几何结构的跨音速激波非线性自由边界问题？

主要发现

• 激波面位置与强度由流入流与出口压力唯一确定，且对背景跨音速激波解无任何限制。
• 所有物理量——速度、压力、熵和伯努利函数——均达到相同的最优正则性，其正则性由边界数据继承。
• 兰金-休克条件被重新表述为激波面上的二阶微分边界条件，从而确保形变-旋度系统的唯一解。
• 激波面边界条件被转化为激波与圆柱壁交线上的泊松方程，其齐次诺伊曼条件使得势函数的倾斜边界条件被唯一导出。
• 在流入流与出口压力的小扰动下，系统存在唯一解，证明了跨音速激波构型的非线性稳定性。
• 该方法成功处理了三维欧拉系统中双曲-椭圆混合类型的本质问题，克服了以往在几何与结构假设上的局限。