[论文解读] Existence and stability of screw dislocation configurations with arbitrary net Burgers vector

Thomas Hudson, Christoph Ortner|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 21被引用 1

一句话总结

本文通过线弹性理论的近似解与反函数定理，证明了在零温反平面晶格模型中，具有任意净柏氏矢量的螺旋位错构型的存在性与局部稳定性，表明局部极小化器保持在这些弹性近似解附近，从而验证了在线弹性理论在位错核心附近的适用性。

ABSTRACT

We consider a variational anti-plane lattice model and demonstrate that at zero temperature, there exist locally stable states containing screw dislocations, under conditions on the distance between the dislocations and on the distance between dislocations and the boundary of the crystal. In proving our results, we introduce approximate solutions which are taken from the theory of dislocations in linear elasticity, and use the inverse function theorem to show that local minimisers lie near them. This gives credence to the commonly held intuition that linear elasticity is essentially correct up to a few spacings from the dislocation core.

研究动机与目标

• 在具有任意净柏氏矢量的晶格模型中，严格建立稳定螺旋位错构型的存在性。
• 分析此类位错在何种条件下保持局部稳定，特别是相对于其他位错的距离以及与晶体检错边界的距离。
• 通过证明真实极小化器与弹性解保持接近，验证线弹性理论在位错核心附近的近似有效性。
• 在位错构型的背景下，弥合连续弹性理论与离散晶格模型之间的差距。

提出的方法

• 基于线弹性理论构造螺旋位错的近似解。
• 应用反函数定理，证明晶格能量泛函的局部极小化器存在于这些弹性近似解附近。
• 对位错之间以及位错与晶体检错边界之间的距离施加几何约束，以确保稳定性。
• 在离散反平面晶格设定下使用变分方法，对零温下的位错构型进行建模。
• 依赖于扰动的正则性与小量特性，以确保反函数定理应用的收敛性。
• 证明在弹性解附近的能量景观中存在唯一局部极小化器，从而确认稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散晶格模型中，具有任意净柏氏矢量的稳定螺旋位错构型在何种条件下存在？
• RQ2 在位错核心附近，实际能量极小化器与线弹性理论预测的解有多接近？
• RQ3 对位错间距与边界接近度的何种几何约束可确保此类构型的局部稳定性？
• RQ4 线弹性理论在多大程度上能准确描述离散晶格框架下位错的结构？
• RQ5 反函数定理能否被用于严格证明从连续近似中导出的位错解的稳定性？

主要发现

• 在适当的几何约束下，反平面晶格模型中存在具有任意净柏氏矢量的稳定螺旋位错构型。
• 证明了能量泛函的局部极小化器与基于线弹性理论导出的近似解保持接近。
• 反函数定理为这些构型在弹性近似附近的稳定性提供了严格依据。
• 结果支持物理直觉：线弹性理论在距离位错核心几个晶格间距范围内仍保持有效。
• 稳定性取决于位错之间的距离及其与晶体检错边界的距离足够大。
• 该框架证实了线弹性理论作为离散系统中位错结构预测工具的鲁棒性。