[论文解读] Existence and uniqueness for anisotropic and crystalline mean curvature flows

Antonin Chambolle, Massimiliano Morini+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 57被引用 30

一句话总结

本文通过一种新颖的分布式水平集公式，建立了具有任意凸迁移率和时变有界驱动力项的各向异性和晶体平均曲率流的存在性与唯一性（允许增厚），该公式确保了比较原理和逼近下的稳定性。该方法统一了最小化运动与水平集方法，证明了Almgren-Taylor-Wang格式在晶体情形下也收敛于唯一平坦流。

ABSTRACT

An existence and uniqueness result, up to fattening, for crystalline mean curvature flows with forcing and arbitrary (convex) mobilities, is proven. This is achieved by introducing a new notion of solution to the corresponding level set formulation. Such a solution satisfies the comparison principle and a stability property with respect to the approximation by suitably regularized problems. The results are valid in any dimension and for arbitrary, possibly unbounded, initial closed sets. The approach accounts for the possible presence of a time-dependent bounded forcing term, with spatial Lipschitz continuity. As a by-product of the analysis, the problem of the convergence of the Almgren-Taylor-Wang minimizing movements scheme to a unique (up to fattening) "flat flow" in the case of general, possibly crystalline, anisotropies is settled.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：对于具有广义凸迁移率和时变驱动力项的晶体平均曲率流，建立存在性与唯一性。
• 提出一种新的水平集方程分布式公式，满足比较原理且在逼近下保持稳定性。
• 建立Almgren-Taylor-Wang最小化运动格式收敛于唯一平坦流，即使在存在奇点或增厚的情况下亦然。
• 统一变分法（最小化运动）与基于PDE的（水平集）方法，用于晶体情形下的几何流。
• 将理论推广至任意维数中的任意初始闭集，包括无界情形。

提出的方法

• 引入各向异性平均曲率流水平集公式的新型解概念，通过曲率演化方程的分布式表述定义。
• 为所提出的分布式解证明比较原理，确保唯一性（允许增厚）。
• 使用最小化运动格式（Almgren-Taylor-Wang）构造流的离散时间逼近。
• 建立ATW格式在迁移率和各向异性扰动下的稳定性，包括时间步长趋于零时收敛至极限流。
• 证明ATW格式在各向异性非光滑（晶体）情形下，对唯一水平集解实现局部一致收敛。
• 利用密度估计与屏障构造控制Wulff形状的演化，并确保一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有广义凸迁移率和时变驱动力项的晶体平均曲率流建立存在性与唯一性？
• RQ2 在晶体情形下，Almgren-Taylor-Wang最小化运动格式是否收敛于唯一平坦流？
• RQ3 能否构造一种水平集公式，即使各向异性非光滑，也能满足比较原理和逼近下的稳定性？
• RQ4 当迁移率和各向异性被光滑函数逼近时，ATW格式的收敛性是否仍然保持？
• RQ5 该新型分布式公式与晶体情形下的粘性解有何关系？

主要发现

• 所提出的分布式公式确保了比较原理与稳定性，从而实现了水平集流的存在性与唯一性（允许增厚）。
• Almgren-Taylor-Wang最小化运动格式对任意初始闭集均收敛于唯一平坦流，即使在晶体情形下亦然。
• ATW格式的收敛性在迁移率与各向异性被逼近时保持稳定，包括在极限下趋近于非光滑（晶体）函数的情形。
• 通过新公式构造的水平集解在三维常数驱动力与纯晶体各向异性情形下，与Giga-Požár的粘性解一致。
• 该理论适用于任意维数，且对任意初始闭集（包括无界情形）均成立。
• 结果将各向异性Allen-Cahn方程的收敛性推广至非光滑情形，证实解收敛于唯一水平集流的零水平集。