[论文解读] Existence and uniqueness for backward stochastic differential equations driven by a random measure

Elena Bandini|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文建立了由一般整值随机测度驱动的倒向随机微分方程（BSDEs）的存在性与唯一性，其补偿器形式为 $ dA_t \phi_t(dx) $，其中 $ A $ 是右连续、非减且可预测的过程——这一结果推广了以往要求 $ A $ 连续或确定性的结果。关键贡献在于提出了一项新颖的技术条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $，确保了问题的适定性，排除了文献中已知的反例，并使该方法可应用于涉及随机点过程（PDMPs）的控制问题。

ABSTRACT

We study the following backward stochastic differential equation on finite time horizon driven by an integer-valued random measure $μ$ on $\mathbb R_+ imes E$, where $E$ is a Lusin space, with compensator $ν(dt,dx)=dA_t\,ϕ_t(dx)$: \[ Y_t = ξ+ \int_{(t,T]} f(s,Y_{s-},Z_s(\cdot))\, d A_s - \int_{(t,T]} \int_E Z_s(x) \, (μ-ν)(ds,dx),\qquad 0\leq t\leq T. \] The generator $f$ satisfies, as usual, a uniform Lipschitz condition with respect to its last two arguments. In the literature, the existence and uniqueness for the above equation in the present general setting has only been established when $A$ is continuous or deterministic. The general case, i.e. $A$ is a right-continuous nondecreasing predictable process, is addressed in this paper. These results are relevant, for example, in the study of control problems related to Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs). Indeed, when $μ$ is the jump measure of a PDMP, then $A$ is predictable (but not deterministic) and discontinuous, with jumps of size equal to 1.

研究动机与目标

• 建立在补偿器涉及可预测、右连续、非减过程 $ A $ 的情况下，由随机测度驱动的倒向 stochastic 微分方程（BSDEs）的存在性与唯一性，推广了以往要求 $ A $ 连续或确定性的结果。
• 解决在 $ A $ 为可预测且不连续的一般情形下，适定性问题的开放难题，该情形自然出现在随机点过程（PDMPs）的背景下。
• 识别并施加一项新技术条件——$ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $——以确保存在性与唯一性，该条件可将本工作与文献中已知的反例区分开来。
• 证明对 $ Y $ 的 Lipschitz 常数 $ L_y $ 的条件是唯一限制，而对 $ Z $ 的 Lipschitz 常数 $ L_z $ 则无需任何限制，这对涉及 PDMP 的控制问题至关重要。

提出的方法

• 本文在有限时间区间 $[0,T]$ 上建模 BSDE，其驱动为 $ \mathbb{R}_+ \times E $ 上的随机测度 $ \mu $，其中 $ E $ 为 Lusin 空间，其补偿器为 $ \nu(dt,dx) = dA_t \phi_t(dx) $，且 $ A $ 是满足 $ \Delta A_t \leq 1 $ 的可预测、右连续、非减过程。
• 采用随机测度 $ \mu $ 的鞅表示定理，假设滤链为由 $ \mu $ 生成的自然右连续滤链，并利用补偿器的分解形式 $ dA_t \phi_t(dx) $。
• 通过在适当的巴拿赫空间中使用不动点论证构造解，其关键创新在于引入了修正的 Lipschitz 常数 $ \hat{L}_{z,s} $，以控制 BSDE 中的跳跃分量。
• 证明依赖于对 $ A $ 的跳跃结构的细致分析，特别是条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $，该条件确保尽管 $ A $ 存在不连续性，收缩映射原理依然适用。
• 该方法仔细分离了补偿器的连续部分与不连续部分，分别记为 $ \nu^c $ 和 $ \nu^d $，并利用 $ \nu^d $ 可表示为 $ \Delta A_t \phi_t^d(dx) $ 且 $ \phi_t^d(E) = 1 $ 的事实，从而对跳跃大小实现一致处理。
• 推导出核心不等式 $ \frac{L_y^2}{\hat{L}_{z,s}^2} + \frac{1}{c_s} < H_s(\hat{L}_{z,s}^2) $，并证明在主条件下该不等式有界，从而确保收缩映射论证成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当补偿器涉及可预测、右连续、非减过程 $ A $ 而非连续或确定性过程时，能否建立由随机测度驱动的倒向 stochastic 微分方程（BSDEs）的存在性与唯一性？
• RQ2 在 $ A $ 为可预测且不连续的一般情形下，为确保适定性，需要增加何种额外技术条件？该条件与以往假设有何不同？
• RQ3 对跳跃过程 $ Z $ 的 Lipschitz 常数 $ L_z $ 无任何限制，是否意味着该方法在涉及 PDMP 的控制问题中具有更广泛的应用潜力？
• RQ4 所提出的条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ 如何排除文献中已知的存在性反例（如 [7] 的第 4.3 节所示）？
• RQ5 若存在鞅表示定理且满足分解 $ \nu^d(dt,dx) = \Delta A_t \phi_t^d(dx) $，该结果是否可推广至非离散随机测度 $ \mu $？

主要发现

• 本文在条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $（其中 $ \varepsilon \in (0,1) $）下，建立了由随机测度驱动、补偿器为 $ dA_t \phi_t(dx) $ 的 BSDE 的存在性与唯一性，其中 $ A $ 为右连续、非减、可预测过程，该条件为本文的核心技术贡献。
• 证明表明，条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ 是避免反例所必需的——具体而言，文献中的反例 [7] 违反了该条件（$ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 = 2 $），从而导致存在性不成立。
• 对于 $ A $ 为可预测且跳跃大小为 1 的 PDMP，该条件简化为 $ L_y < 1/\sqrt{2} $，即对生成元关于 $ Y $ 的 Lipschitz 常数施加了一个简单而明确的约束。
• 本文表明，对 $ Z $ 的 Lipschitz 常数 $ L_z $ 无需施加任何限制，这对涉及 PDMP 的控制理论应用具有显著优势。
• 该证明方法具有鲁棒性，可推广至非离散随机测度 $ \mu $，前提是满足分解 $ \nu^d(dt,dx) = \Delta A_t \phi_t^d(dx) $ 且 $ \phi_t^d(E) = 1 $，同时存在鞅表示定理。
• 本结果推广了 [6] 中的先前工作，后者要求 $ A $ 为确定性过程，本文表明即使 $ A $ 仅为可预测过程，相同的条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ 依然有效，且需采用根本不同的证明策略。