[论文解读] Existence and uniqueness of invariant measures for non-Feller Markov semigroups

Jean-Gabriel Attali|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

Stochastic processes and financial applications被引用 0

一句话总结

论文证明了在没有 Feller 正则性的情形下，通过准 Feller 正规性实现存在性；并在 psi-不可约性下采用解析器支配论证明唯一性，给出连续时间马尔可夫半群的不变概率测度的存在性与唯一性。

ABSTRACT

We study existence and uniqueness of invariant probability measures for continuous-time Markov processes on general state spaces. Existence is obtained from tightness of time averages under a weak regularity assumption inspired by quasi-Feller semigroups, allowing for discontinuous and non-Feller dynamics. Our main contribution concerns uniqueness. Under a natural $ψ$-irreducibility assumption, we show that the normalized resolvent kernel satisfies a domination property with respect to a reference measure. As a consequence, every invariant probability measure charges this reference measure. Since distinct ergodic invariant measures are mutually singular on standard Borel spaces, this domination property implies uniqueness whenever an invariant probability measure exists. The argument is purely measure-theoretic and does not rely on Harris recurrence, return-time estimates, or Foster--Lyapunov conditions, and applies in particular to jump processes and hybrid models with discontinuous dynamics.

研究动机与目标

• 在一般状态空间上研究连续时间马尔可夫过程的不变测度的动机，包括非 Feller 动力学。
• 在准 Feller 正规性和时平均紧性条件下，建立不变测度的存在性。
• 提出基于解析器支配的结构性、测度论的唯一性标准，依赖不可约性。
• 展示其在跳跃过程、混合模型以及具有不连续动力学的系统中的适用性。

提出的方法

• 利用时平均紧性在准 Feller 因式分解下保证不变测度存在性。
• 通过 H 映射和正则化核 Q_t 实现准 Feller 因式分解，以处理不连续性。
• 证明 H-不连续集在时平均弱极限下的不可见性（命题 2.3）。
• 引入归一化的解析器 R_alpha，并证明 P_t 的不变测度等同于 R_alpha 的不变测度（引理 3.2）。
• 应用支配准则：若一个四无穷测度对所有 x 都被 R_alpha(x,·) 支配，则它支配任一不变测度（命题 3.4）。
• 利用 psi-不可约性获得一个被 R_alpha 支配的共同参考测度，从而得到唯一性（推论 3.9）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种结构条件下可以为非 Feller 连续时间马尔可夫半群保证不变测度的存在性？
• RQ2 一旦存在性成立，是否仅凭不可约性就能推出唯一性，而不需要 Harris 重新遍历性或 Foster–Lyapunov 条件？
• RQ3 归一化的解析器是否提供普适的支配机制，防止存在多个不变测度的共存？
• RQ4 准 Feller 框架如何在广义模型（扩散、跳跃、混合模型）中帮助处理不连续性？

主要发现

• 在准 Feller 正规性和时平均紧性下，以及对不连续性的不可见性属性，存在性可得。
• 一旦存在性确立，唯一性是不可约性的结构性结果，通过解析器支配共同参考测度实现。
• 归一化的解析器 R_alpha 将连续时间与离散时间的视角联系起来，并保持不变性（P_t 不变等价于 R_alpha 不变）。
• 在 psi-不可约性和 P_t 的右连续性下，可能存在唯一不变测度；若存在多个遍历不变量则在标准 Borel 空间上相互互斥，强制实现唯一性。
• 此方法适用于扩散、退化 Langevin 动力学、跳跃过程以及具有不连续动力学的混合模型，且无需 Harris 重新遍历性或 Foster–Lyapunov 条件。