[论文解读] Existence and Uniqueness of Mild Solutions to Neutral SFDE driven by a Fractional Brownian Motion with non-Lipschitz Coefficients

Salah Hajji, El Hassan Lakhel|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文在希尔伯特空间中，针对由分数布朗运动驱动的一类中立型随机泛函微分方程（NSFDEs），在系数满足非利普希茨条件的情况下，建立了温和解的存在性与唯一性。作者采用一种类似皮卡（Picard）的迭代逼近方法，结合分数阶微积分与随机分析技术，推广了以往要求利普希茨连续性的结果，从而将温和解理论的适用范围扩展至漂移项与扩散项具有更弱正则性假设的方程。

ABSTRACT

The article presents results on existence and uniqueness of mild solutions to a class of non linear neutral stochastic functional differential equations (NSFDEs) driven by Fractional Brownian motion in a Hilbert space with non-Lipschitzian coefficients. The results are obtained by using the method of Picard approximation.

研究动机与目标

• 将中立型随机泛函微分方程（NSFDEs）的温和解存在性与唯一性理论，从经典利普希茨条件推广至更一般的情形。
• 通过使用分数布朗运动作为驱动噪声，应对具有长程依赖特性的随机系统建模挑战。
• 通过将[4]中结果的利普希茨条件替换为更弱、更一般的非利普希茨条件，推广已有成果。
• 在希尔伯特空间中建立NSFDEs的适定性，其中动力学依赖于当前状态、过去状态以及带延迟的状态导数。

提出的方法

• 作者采用一种类似皮卡的迭代逼近方案，构造出收敛于真实解的温和解序列。
• 通过由无穷小算子A生成的半群，利用常数变易公式定义温和解。
• 分析依赖于闭算子的分数阶幂以及分数布朗运动的维纳积分表示。
• 利用核表示与分数阶维纳积分在再生核希尔伯特空间上的等距性质，推导出随机估计。
• 通过比较引理与涉及凹函数的广义格朗沃尔（Gronwall）型不等式，证明迭代序列的收敛性。
• 该方法通过使用一个凹的、非减函数λ（其倒数积分发散）来刻画漂移与扩散系数的非利普希茨条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种非线性系数条件下，分数布朗运动驱动的中立型SDE可存在温和解？
• RQ2 能否在保持温和解存在性与唯一性的前提下，将经典的利普希茨条件放宽为更弱的非利普希茨条件？
• RQ3 当分数布朗运动的赫斯特参数H ∈ (1/2, 1) 时，如何影响解过程的正则性与收敛性？
• RQ4 皮卡迭代在非利普希茨假设下证明存在性与唯一性的过程中起到何种作用？
• RQ5 能否利用包含凹函数的广义格朗沃尔不等式，建立迭代方案的收敛性？

主要发现

• 在广义经典利普希茨假设的非利普希茨条件下，建立了温和解的存在性与唯一性。
• 解通过在区间[−r, T]上平方可积随机过程空间中皮卡迭代序列的收敛性获得。
• 收敛性通过涉及凹函数λ的广义格朗沃尔不等式得到证明，其中∫₀⁺ dx/λ(x) = ∞。
• 该方法允许系数满足‖f(t,x)−f(t,y)‖² ≤ α(t)λ(‖x−y‖²)，其中λ为凹函数、非减函数，λ(0)=0，且∫₀⁺ dx/λ(x) = ∞。
• 当λ(u) = Lu时，该结果包含经典利普希茨情形作为特例。
• 提供了可接受λ函数的具体例子，如λ₁(u) = Lu 和 λ₂(u) = ulog(u⁻¹)（当u > 0较小时）。