[论文解读] Existence and uniqueness of solution of Cauchy-type problem for Hilfer fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 13

一句话总结

本文通过皮卡 successive approximation 方法和广义格朗沃尔不等式，建立了涉及希尔弗分数阶微分方程的柯西型问题解的存在性、唯一性及连续依赖性。主要贡献在于证明了解对分数阶和初值的连续依赖性，并利用马特莱夫函数给出了初值或阶次扰动下的显式界。

ABSTRACT

The Cauchy-type problem for a nonlinear differential equation involving Hilfer fractional derivative is considered. We prove existence, uniqueness and continuous dependence of a solution for Cauchy-type problem using successive approximations and generalized Gronwall inequality.

研究动机与目标

• 建立非线性希尔弗分数阶微分方程在柯西型初值条件下解的存在性与唯一性。
• 分析解对分数阶和初值的连续依赖性，弥补不动点方法的局限性。
• 提供一种基于皮卡迭代法的构造性证明框架，而非依赖抽象不动点定理。
• 利用马特莱夫函数推导出由于初值或阶次扰动引起解变化的显式界。
• 确保在与分数阶微积分相关的加权函数空间中柯西问题的适定性。

提出的方法

• 采用皮卡 successive approximation 方法在加权空间 $ C_{1-\beta}[a,b] $ 中迭代构造解，确保收敛性。
• 利用广义格朗沃尔不等式控制近似解之间的差异并控制收敛速度。
• 应用希尔弗分数阶导数 $ D_{a^{+}}^{\beta,\beta} $，其定义为 $ I_{a^{+}}^{\beta(1-\beta)} D_{a^{+}}^{\beta} $，其中 $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $。
• 建立非线性项 $ f(x,y) $ 的利普希茨连续性，常数为 $ A $，以估计解之间的差异。
• 推导涉及黎曼-刘维尔分数阶积分 $ I_{a^{+}}^\alpha $ 的解的积分表达式，并利用马特莱夫函数 $ E_{\alpha,\gamma}(z) $ 进行扰动界估计。
• 使用度量 $ d(y_1,y_2) = \|y_1 - y_2\|_{C_{1-\gamma}[a,b]} = \max_{x\in[a,b]} |(x-a)^{1-\gamma}[y_1(x) - y_2(x)]| $ 定义解空间中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔弗分数阶微分方程的柯西型问题在有限区间上是否具有唯一解？
• RQ2 当初值受小量 $ \epsilon $ 扰动时，解如何连续依赖于初值？
• RQ3 当分数阶 $ \alpha $ 稍微改变时，解如何变化？
• RQ4 解能否通过 successive approximation 显式构造？其收敛是否一致？
• RQ5 由于初值或阶次的微小变化引起解偏差的定量界是什么？

主要发现

• 在 $ f(x,y) $ 满足利普希茨连续性的假设下，希尔弗分数阶柯西问题在 $[a,b]$ 上的解存在且唯一。
• 解对初值连续依赖：若初值扰动为 $ \epsilon $，则解的差异被界为 $ |\epsilon|(x-a)^{\gamma-1} E_{\alpha,\gamma}(A(x-a)^\alpha) $，其中 $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $。
• 对于分数阶 $ \alpha $ 的微小变化，解的差异被一个包含阶次差和马特莱夫函数的项所界。
• 在加权空间 $ C_{1-\gamma}[a,b] $ 中，successive approximation 的收敛性得到保证，且极限满足分数阶微分方程的积分形式。
• 即使在初始点 $ a $ 附近，解仍保持适定性，尽管在 $[a,l]$ 上 $ l > a $ 时可能出现显著变化，但在 $[l,b]$ 上保持稳定性。
• 通过广义格朗沃尔不等式推导出阶次扰动引起的解变化的界，涉及阶次差和核 $ (x-t)^{\alpha - \delta - 1} $。