[论文解读] Existence and uniqueness results for BSDEs with jumps: the whole nine yards

Antonis Papapantoleon, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文在一般条件下建立了带跳的多维倒向随机微分方程（BSDEs）的存在性与唯一性：包括无界随机时间 horizon、可能具有随机不连续性的filtration，以及随机Lipschitz生成器。关键贡献是在加权空间中建立适定性结果，将先前理论扩展至由一般鞅的离散时间近似驱动的BSDEs。

ABSTRACT

This paper is devoted to obtaining a wellposedness result for multidimensional BSDEs with possibly unbounded random time horizon and driven by a general martingale in a filtration only assumed to satisfy the usual hypotheses, i.e. the filtration may be stochastically discontinuous. We show that for stochastic Lipschitz generators and unbounded, possibly infinite, time horizon, these equations admit a unique solution in appropriately weighted spaces. Our result allows in particular to obtain a wellposedness result for BSDEs driven by discrete--time approximations of general martingales.

研究动机与目标

• 在filtration和生成器的假设尽可能弱的条件下，建立多维带跳BSDEs的适定性结果。
• 将现有理论从布朗运动filtration扩展至一般鞅驱动的BSDEs，包括具有随机不连续性的filtration。
• 处理无界或无限时间horizon的情况，这在金融和随机控制应用中很常见。
• 为由一般鞅的离散时间近似驱动的BSDEs提供一个框架，从而支持数值和近似方案。
• 推广随机Lipschitz条件，允许Lipschitz常数为随机过程，从而扩大对非一致Lipschitz生成器的适用范围。

提出的方法

• 作者在适当的加权随机空间中使用不动点论证，证明解的存在性与唯一性。
• 基于指数局部鞅和可积性条件定义加权范数，以控制无界时间horizon下解的增长。
• 假设生成器满足随机Lipschitz条件，其中Lipschitz常数为适应于filtration的随机过程。
• 分析在仅满足通常假设的filtration中进行，允许存在随机不连续的鞅和一般半 martingale 驱动项。
• 解空间的构造确保了过程对 (Y, Z) 的可积性与可预测性，即使在无界时间horizon下也成立。
• 证明依赖于加权L²型空间中的先验估计与压缩映射论证，利用跳跃项的结构以及生成器的随机Lipschitz性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间horizon无界或为随机变量时，多维带跳BSDE在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 经典的Lipschitz条件能否被具有随机Lipschitz常数的随机Lipschitz条件所替代，同时仍能保证适定性？
• RQ3 是否可能将BSDE的适定性理论扩展至具有随机不连续性的filtration，即不一定是连续或准左连续的filtration？
• RQ4 由一般鞅的离散时间近似驱动的BSDE能否在与连续时间BSDE相同的框架下被严格处理？
• RQ5 为确保在加权空间中存在唯一解，终端条件和生成器的最小可积性与正则性条件是什么？

主要发现

• 本文在随机Lipschitz条件下，建立了多维带跳BSDEs的解的存在性与唯一性，即使时间horizon无界或为随机变量。
• 解存在于适当的加权L²型空间中，该空间可容纳解过程在无限时间horizon下的增长。
• 该结果适用于仅满足通常条件的一般filtration，包括具有随机不连续鞅的filtration。
• 该框架允许处理由一般鞅的离散时间近似驱动的BSDEs，为数值方案提供了严格的理论基础。
• 随机Lipschitz条件至关重要：它允许Lipschitz常数为随机过程，从而推广经典的一致Lipschitz条件，并增强适用性。
• 证明依赖于加权空间中的压缩映射，其压缩的充分条件以跳跃大小、漂移和波动率参数的形式明确导出。