[论文解读] Existence and uniqueness results for possibly singular nonlinear elliptic equations with measure data

Linda Maria De Cave, Riccardo Durastanti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用 38

一句话总结

该论文建立了涉及 p-Laplacian 算子和测度数据的奇异非线性椭圆方程解的存在性与唯一性，其中低阶项 H(u) 在 u=0 附近可能趋于无穷。作者引入了重正化解框架以确保唯一性，证明当奇异性强度 γ ≤ 1 时解为重正化解，并将先前结果推广至 p ≠ 2 及一般非线性项的情形。

ABSTRACT

We study existence and uniqueness of solutions to a nonlinear elliptic boundary value problem with a general, and possibly singular, lower order term, whose model is $$\begin{cases} -\Delta_p u = H(u)\mu & ext{in}\ \Omega,\\ u>0 & ext{in}\ \Omega,\\ u=0 & ext{on}\ \partial\Omega. \end{cases}$$ Here $\Omega$ is an open bounded subset of $\mathbb{R}^N$ ($N\ge2$), $\Delta_p u:= \operatorname{div}(| abla u|^{p-2} abla u)$ ($1<p<N$) is the $p$-laplacian operator, $\mu$ is a nonnegative bounded Radon measure on $\Omega$ and $H(s)$ is a continuous, positive and finite function outside the origin which grows at most as $s^{-\gamma}$, with $\gamma\ge0$, near zero.

研究动机与目标

• 建立具有测度数据和可能奇异的低阶项的奇异非线性椭圆方程解的存在性与唯一性。
• 将重正化解框架从线性情形（p=2）推广至非线性 p-Laplacian 设置（1 < p < N）。
• 证明当奇异性强度 γ ≤ 1 时解为重正化解，从而在一般条件下确保唯一性。
• 处理有限和奇异的 H(u)（例如 H(s) ~ s^{-γ}）以及一般测度数据 µ。
• 分析当 H(s) 退化（即在某 s > 0 处为零）时解的正则性，证明其有界性与局部能量可积性。

提出的方法

• 采用 p-Laplacian 方程在测度数据和奇异低阶项下的分布解框架。
• 通过截断和 H(u) 与 µ 的正则化构造逼近方案，尤其针对奇异 H 的情形。
• 使用截断函数 Tk(u)、Gk(u)，以及辅助函数 πk 和 θk 来控制增长并检验正则性。
• 在弱形式中应用 Fatou 引理和 Lebesgue 控制收敛定理以取极限。
• 将重正化解概念（通过具有紧支集的测试函数 S ∈ W^{1,∞}(R)）适配至非线性情形，以确保唯一性。
• 采用基于容量的论证方法及 capp-准连续代表元，以处理测度与解的奇异性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，p-Laplacian 方程在具有奇异低阶项 H(u)µ 和测度数据时存在分布解？
• RQ2 解在何时唯一？重正化解概念在确保唯一性中起什么作用？
• RQ3 奇异性强度 γ（在 H(s) ~ s^{-γ} 中）如何影响解的可积性与正则性？
• RQ4 当 H(s) 退化（即存在 s1 > 0 使得 H(s1) = 0）时，解会发生什么变化？这如何影响其有界性与能量空间成员资格？
• RQ5 当 H 连续且有限（γ = 0）时，是否存在与已知的 p=2 情形相比，将存在性与唯一性结果推广至 p ≠ 2 的可能？

主要发现

• 对于具有测度数据和一般 H(u) 的奇异 p-Laplacian 问题，包括 γ ≥ 0 阶的奇异性 s^{-γ}，分布解存在。
• 当 γ ≤ 1 时，解为重正化解，即使在一般非线性 H 和扩散测度下也确保唯一性。
• 当 γ > 1 时，解属于 W^{1,p}_{loc}(Ω)，但不一定属于 W^{1,p}_0(Ω)，且截断 Tk(u) 不一定在能量空间中。
• 若 H(s) 退化（即存在 s1 > 0 使得 H(s1) = 0），当 γ ≤ 1 时解有界且属于 W^{1,p}_0(Ω) ∩ L^∞(Ω)，当 γ > 1 时属于 W^{1,p}_{loc}(Ω) ∩ L^∞(Ω)。
• 当 H(s1) = 0 且 µ 为扩散测度（µ_c ≡ 0）时，解在 L^∞(Ω) 中有界，且满足 ‖u‖_{L^∞(Ω)} ≤ s1。
• 当 H 非增且 µ 为扩散测度时，即使在一般 p > 1 和非星形区域下，重正化解的唯一性仍成立。