[论文解读] Existence and uniqueness results for viscous, heat-conducting 3-D fluid with vacuum

Ting Zhang, Daoyuan Fang|ArXiv.org|Feb 7, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了三维可压缩Navier-Stokes方程在温度与密度相关粘性系数和导热系数条件下的强解的局部存在性与唯一性，允许初始真空存在。在物理上合理的材料性质假设下，证明了爆破准则，并展示了当初始密度具有紧支集且初始动量非零时，解在$[\mathbb{R}^{n}$中有限时间内爆破。

ABSTRACT

We consider the 3-D full Navier-Stokes equations whose the viscosity coefficients and the thermal conductivity coefficient depend on the density and the temperature. We prove the local existence and uniqueness of the strong solution in a domain $Ω\subset\mathbb{R}^3$. The initial density may vanish in an open set and $Ω$ could be a bounded or unbounded domain. We also prove a blow-up criterion for the solution. Finally, we show the blow-up of the smooth solution to the compressible Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^n$ ($n\geq1$) when the initial density has compactly support and the initial total momentum is nonzero.

研究动机与目标

• 建立三维全Navier-Stokes方程在密度与温度相关粘性系数和导热系数下的强解的存在性与唯一性。
• 允许初始密度在某个开集上为零（即允许真空），突破了传统假设中初始密度为正的限制。
• 在有界与无界区域中，推导解的爆破准则。
• 证明在$[\mathbb{R}^{n}$（$n\geq1$）中，当初始密度具有紧支集且初始总动量非零时，可压缩Navier-Stokes方程的光滑解在有限时间内爆破。

提出的方法

• 建立三维全Navier-Stokes系统，其中压力、内能及输运系数（$\mu, \lambda, \kappa$）依赖于密度$\rho$与温度$\theta$。
• 施加物理约束：$\mu>0$，$3\lambda+2\mu\geq0$，$\kappa\geq0$，并假设$\partial_\theta e \geq \underline{c}>0$以保证热力学一致性。
• 利用加权能量估计与椭圆系统$L^p$-理论，控制Sobolev空间中的速度场与温度场。
• 基于速度梯度的$L^p$-范数增长与密度的$L^2$-范数，应用爆破准则。
• 通过粒子轨迹分析与动量守恒，当假设在紧支集初始密度与非零动量下解可全局存在时，导出矛盾。
• 利用$u=0$在$\rho$支集之外的性质，控制质心并推导出有限时间爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可压缩Navier-Stokes方程中，当粘性系数与导热系数随温度与密度变化且初始存在真空时，强解在时间上局部存在的条件是什么？
• RQ2 当初始密度中存在真空区域时，解是否仍可唯一确定？
• RQ3 解的爆破准则如何以速度与密度梯度的增长来表达？
• RQ4 在$\mathbb{R}^n$（$n\geq1$）中，若初始密度具有紧支集且初始动量非零，可压缩Navier-Stokes方程的解是否必然在有限时间内爆破？
• RQ5 温度与密度相关输运系数如何影响解的正则性与寿命？

主要发现

• 本文证明了在密度与温度相关粘性系数与导热系数条件下，三维全Navier-Stokes方程强解的局部存在性与唯一性，即使初始密度在某个开集上为零。
• 建立了爆破准则，表明若速度梯度的某些范数与密度的范数增长过快，则解无法全局存在。
• 证明了在$\mathbb{R}^n$（$n\geq1$）中，当初始密度具有紧支集且初始总动量非零时，可压缩Navier-Stokes方程的光滑解在有限时间内爆破。
• 由于速度在密度支集外为零，密度的支集在时间上保持紧致且不变，即$\Omega(t) = \Omega(0)$。
• 流体的质心随时间线性演化，其有界性与动量的线性增长相矛盾，从而导致有限时间爆破。
• 结果适用于有界与无界区域，包括$\mathbb{R}^3$、$\mathbb{R}^3_+$及具有光滑边界外区域。