[论文解读] Existence and Weak* Stability for the Navier-Stokes System with Initial Values in Critical Besov Spaces

Tobias Barker|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文证明了在临界Besov空间 $\dot{B}^{-1/4}_{4,\infty}$ 中初始数据下3D Navier-Stokes方程全局解的存在性，并证明了初始数据收敛下的弱*稳定性。该研究将全局 $L_3$ 解的概念扩展到更广泛的临界空间，通过提出一种新型齐次Besov空间分解以克服插值理论的局限性，并证明了当 $p>4$ 时，初始数据属于 $\cdot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 的局部解存在性，同时给出了正则性准则的应用。

ABSTRACT

In 2016, Seregin and uSverák, conceived a notion of global in time solution (as well as proving existence of them) to the three dimensional Navier-Stokes equation with $L_3$ solenoidal initial data called 'global $L_3$ solutions'. A key feature of global $L_3$ solutions is continuity with respect to weak convergence of a sequence of solenoidal $L_3$ initial data. The first aim of this paper is to show that a similar notion of ' global $\dot{B}^{-\frac{1}{4}}_{4,\infty}$ solutions' exists for solenoidal initial data in the wider critical space $\dot{B}^{-\frac{1}{4}}_{4,\infty}$ and satisfies certain continuity properties with respect to weak* convergence of a sequence of solenoidal $\dot{B}^{-\frac{1}{4}}_{4,\infty}$ initial data. This is the widest such critical space if one requires the solution to the Navier-Stokes equations minus the caloric extension of the initial data to be in the global energy class. For the case of initial values in the wider class of $\dot{B}^{-1+\frac{3}{p}}_{p,\infty}$ initial data ($p>4)$, we prove that for any $0

研究动机与目标

• 将全局 $L_3$ 解的概念推广至更广泛的临界空间，特别是 $\cdot{B}^{-1/4}_{4,\infty}$，同时保持初始数据收敛下的弱*稳定性。
• 建立当 $p>4$ 时，初始数据属于 $\cdot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 的局部解存在性，该类空间比 $L_3$ 更为广泛。
• 发展一种针对齐次Besov空间 $\cdot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 的新分解技术，该技术无法由经典实插值理论导出。
• 基于速度场的 $\cdot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 范数，推导出3D弱Leray-Hopf解的新正则性准则。
• 通过尺度变换与古解构造，利用弱*稳定性，构建分析潜在爆破情形的框架。

提出的方法

• 引入了‘全局 $\cdot{B}^{-1/4}_{4,\infty}$ 解’的概念，作为全局 $L_3$ 解的推广，确保初始数据在弱*收敛下解的连续性。
• 对初始数据 $u_0 = \bar{u}_0^N + \tilde{u}_0^N$ 进行二进制分解，将其划分为 $\dot{B}^{s_{p_2}+\delta_2}_{p_2,p_2}$ 中的低频部分与 $L_2$ 中的高频部分，且各部分范数受控。
• 应用引理6.1，为低频部分 $\bar{u}_0^N$ 在 $\dot{B}^{s_{p_2}+\delta_2}_{p_2,p_2}$ 中构造一个经典解 $W$，满足时间加权 $L_{p_2}$ 估计。
• 利用引理6.2，为完整初始数据构造解 $v = W + u$，其中 $u$ 满足初始数据为 $\tilde{u}_0^N$ 的扰动Navier-Stokes方程，且满足能量不等式。
• 通过证明若 $u_0^{(n)} \rightharpoonup^* u_0$ 在 $\dot{B}^{-1/4}_{4,\infty}$ 中，则对应的解 $u^{(n)}$ 沿子列在分布意义下收敛，从而建立弱*稳定性。
• 依赖于一种新颖的齐次Besov空间 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 分解，该分解无法由经典实插值理论导出，从而实现向更广泛临界空间的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有弱*稳定性的全局 $L_3$ 解概念推广至临界Besov空间 $\dot{B}^{-1/4}_{4,\infty}$？
• RQ2 对于 $p>4$ 的初始数据属于 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$，是否存在全局解，且其是否满足弱*稳定性？
• RQ3 能否基于速度场的 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 范数，推导出3D弱Leray-Hopf解的新正则性准则？
• RQ4 是否存在一种 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 的分解方式，避免使用标准实插值理论，从而实现更广泛临界空间中的解构造？
• RQ5 如何利用弱*稳定性，通过尺度变换与古解理论分析潜在的爆破情形？

主要发现

• 本文证明了在无散初始数据属于 $\dot{B}^{-1/4}_{4,\infty}$ 的条件下，全局解存在，且解在初始数据弱*收敛下保持连续性。
• 对任意 $0<T<\infty$，当 $p>4$ 时，初始数据属于 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 的解在 $\mathbb{R}^3 \times ]0,T[$ 上存在，其构造基于将数据分解为 $\dot{B}^{s_{p_2}+\delta_2}_{p_2,p_2}$ 与 $L_2$ 两部分。
• 构建了一种不依赖于实插值理论的新型齐次Besov空间 $\dot{B}^{-1+3/p}_{p,\infty}$ 分解，从而实现向更广泛临界空间的推广。
• 解 $v = W + u$ 满足时间加权 $L_{p_2}$ 估计：$\sup_{0<t<T} t^{\frac{s_{p_2}}{2} - \frac{\delta_2}{2}} \|w(\cdot,t)\|_{L_{p_2}} \leq 2M^{(0)}$，其中 $M^{(0)} = \sup_{0<t<T} t^{\frac{s_{p_2}}{2} - \frac{\delta_2}{2}} \|S(t)u_0\|_{L_{p_2}}$。
• 解 $u$ 满足能量不等式：$\|u(\cdot,t)\|_{L_2}^2 + 2\int_0^t \|\nabla u(\cdot,t')\|_{L_2}^2 dt' \leq 2\int_0^t \int (W \otimes u) : \nabla u \, dx dt' + \|V_0\|_{L_2}^2$，确保了解的稳定性。
• 对 $v$ 和 $q$ 成立局部能量不等式，确认解在分布意义下为弱Leray-Hopf解。