[论文解读] Existence, multiplicity and concentration for a class of fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$

Claudianor O. Alves, Vincenzo Ambrosio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用 11

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{R}^N$ 上带有小参数 $\ varepsilon > 0$ 的一类分数阶 $p\&q$ 拉普拉斯方程的非平凡非负解的存在性、多重性及集中性。通过变分法、Nehari流形技巧以及无需假设 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的 Ljusternik-Schnirelmann 族理论，作者证明了解集中在势函数 $V(x)$ 达到其最小值 $V_0$ 的点附近，且解的数量下界由集合 $\{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = V_0\}$ 的族数决定，同时通过 Moser 迭代法建立了解的一致有界性。

ABSTRACT

In this work we consider the following class of fractional $p\&q$ Laplacian problems \begin{equation*} (-\Delta)_{p}^{s}u+ (-\Delta)_{q}^{s}u + V(\varepsilon x) (|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u)= f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*} where $\varepsilon>0$ is a parameter, $s\in (0, 1)$, $1< p<q<\frac{N}{s}$, $(-\Delta)^{s}_{t}$, with $t\in \{p,q\}$, is the fractional $t$-Laplacian operator, $V:\mathbb{R}^{N} ightarrow \mathbb{R}$ is a continuous potential and $f:\mathbb{R} ightarrow \mathbb{R}$ is a $\mathcal{C}^{1}$-function with subcritical growth. Applying minimax theorems and the Ljusternik-Schnirelmann theory, we investigate the existence, multiplicity and concentration of nontrivial solutions provided that $\varepsilon$ is sufficiently small.

研究动机与目标

• 建立在 $\ mathbb{R}^N$ 上带有小参数 $\ varepsilon > 0$ 的一类分数阶 $p\&q$ 拉普拉斯方程的非平凡非负解的存在性。
• 在不依赖 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的前提下，利用 Ljusternik-Schnirelmann 族理论研究解的多重性。
• 分析当 $\ varepsilon \to 0$ 时解的集中行为，表明解集中在势函数 $V(x)$ 最小化的点附近。
• 通过 Moser 迭代法的一种变体证明所有解的一致有界性。

提出的方法

• 采用变分法研究与分数阶 $p\&q$ 拉普拉斯问题相关的能量泛函。
• 利用 Nehari 流形处理非线性项，并建立基态解的存在性。
• 将 Ljusternik-Schnirelmann 族理论应用于 Nehari 流形，以获得多重性结果。
• 通过涉及同伦形变收缩 $\beta_\varepsilon \circ \Phi_\varepsilon$ 的论证，将解集的族数与势函数 $V(x)$ 的最小值集的族数联系起来。
• 对弱解应用改进的 Moser 迭代格式，以证明其本质有界性，从而建立 $L^\infty$-正则性。
• 在 Nehari 流形上无需 Ambrosetti-Rabinowitz 条件即证明了 Palais-Smale 条件，这是关键的技术创新。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$\ mathbb{R}^N$ 上的分数阶 $p\&q$ 拉普拉斯问题在小参数 $\ varepsilon > 0$ 时至少存在一个非平凡非负解？
• RQ2 该问题至少存在多少个非平凡非负解？这一数量如何与集合 $\{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = V_0\}$ 的拓扑结构相关？
• RQ3 当 $\ varepsilon \to 0$ 时，解在何处集中？其质量分布的精确渐近行为是什么？
• RQ4 能否在不假设 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的前提下证明解的有界性？如果可以，具体方法为何？

主要发现

• 当 $\ varepsilon > 0$ 足够小时，问题 (1.1) 存在一个非负基态解 $u_\varepsilon$，其在 $\ mathbb{R}^N$ 中某点 $x_0$ 处集中，且满足 $V(x_0) = V_0$。
• 对任意 $\delta > 0$，存在 $\varepsilon_\delta > 0$，使得对所有 $\varepsilon \in (0, \varepsilon_\delta)$，问题至少存在 $\text{cat}_{M_\delta}(M)$ 个非平凡非负解，其中 $M = \{x : V(x) = V_0\}$，$M_\delta = \{x : \text{dist}(x, M) \leq \delta\}$。
• 集中性以积分形式量化：对任意满足 $\varepsilon_n \to 0$ 的序列，解 $u_{\varepsilon_n}$ 满足 $\int_{B_{\varepsilon_n \bar{R}}(y)} f(u_{\varepsilon_n}) u_{\varepsilon_n} \, dx \geq C \varepsilon_n^N$ 且 $\int_{\mathbb{R}^N \setminus B_{\varepsilon_n \bar{R}}(y)} f(u_{\varepsilon_n}) u_{\varepsilon_n} \, dx < \varepsilon_n^N \delta$，当 $n$ 足够大时成立，其中 $C > 0$，$\bar{R} > 0$。
• 问题 (1.1) 的所有解在 $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ 中一致有界，即存在 $K > 0$（与 $\varepsilon$ 无关），使得 $\|u\|_{L^\infty} \leq K$，该结论通过 Moser 迭代法建立。