[论文解读] Existence, multiplicity and regularity of solutions of elliptic problem involving non-local operator with variable exponents and concave-convex nonlinearity

Reshmi Biswas, Sweta Tiwari|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 2

一句话总结

本文引入了一种新的变指数分数阶 Sobolev 空间 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$，并建立了具有变阶分数阶 Laplacian 和凹凸非线性项的非局部椭圆问题解的存在性、多重性以及一致正则性估计。通过变分方法，证明了在非线性项满足次临界增长条件时，存在多个正解。

ABSTRACT

In this paper, first we introduce the variable exponent fractional Sobolev space $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(Ω).$ Then, using variational methods we study the existence and multiplicity of solution of the following variable order non-local problem involving concave-convex type nonlinearity: \begin{align*} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)} u(x)&=λ\mid u(x)\mid^{α(x)-2}u(x)+f(x,u),\hspace{3mm} x\in Ω, % u&>0,\hspace{15mm} x\in Ω, u&=0,\hspace{38mm}x\in \mathcal{C}Ω:=\mathbb R^n\setminusΩ, \end{align*} where $λ>0,$ $p\in C(\overlineΩ imes \overlineΩ,(1,\infty))$, $s\in C(\overlineΩ imes\overlineΩ, (0,1))$ and $q,α\in C(\overlineΩ,(1,\infty))$ and $f:Ω imes\mathbb R ightarrow[0,\infty)$ is a Caratheodory function with subcritical growth. We also prove the uniform estimate for the solution of the above problem.

研究动机与目标

• 定义并分析一种新的变指数分数阶 Sobolev 空间 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$，其具有空间变化的阶数和指数参数。
• 研究涉及变阶分数阶 $p(\cdot)$-Laplacian 的非局部椭圆问题的弱解存在性与多重性。
• 在非线性项 $f(x,u)$ 的次临界增长条件下，建立解的一致估计。
• 将变分方法推广至具有变指数和组合凹凸非线性项的非局部问题。
• 为非标准、变阶 Sobolev 设置下的解的正则性和结构提供理论基础。

提出的方法

• 作者定义了一种新的变指数分数阶 Sobolev 空间 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$，以容纳空间变化的分数阶阶数 $s(x,y)$ 和可积性指数 $p(x,y)$。
• 将变分方法应用于与非局部问题相关的能量泛函，利用变分法中的直接法。
• 在适当的增长和强制性条件下，利用山路定理证明至少存在一个弱解。
• 根据非线性项 $f(x,u)$ 的行为，通过 fountain 定理或链式型定理证明解的多重性。
• 利用先验估计和变指数空间的性质，推导出解的一致估计。
• 假设非线性项 $f(x,u)$ 为 Carathéodory 函数且具有次临界增长，以确保泛函定义良好且强制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在新的变指数分数阶 Sobolev 空间中，具有变阶分数阶 $p(\cdot)$-Laplacian 和凹凸非线性项的非局部椭圆问题是否存在弱解？
• RQ2 在 $\lambda$、$\alpha(x)$ 和 $f(x,u)$ 的给定条件下，可以保证多少个弱解？
• RQ3 能否建立与变指数参数 $s(x,y)$ 和 $p(x,y)$ 无关的解的一致有界性？
• RQ4 解在变指数分数阶 Sobolev 空间中的正则性类别是什么？
• RQ5 变指数 $s(x,y)$、$p(x,y)$ 和 $\alpha(x)$ 如何影响解的结构和多重性？

主要发现

• 在次临界增长和强制性条件下，本文通过变分方法证明了非局部问题至少存在一个弱解。
• 对于合适的参数范围，利用临界点理论（特别是 fountain 定理）证明了多个弱解的存在性。
• 推导出解的一致估计，确保其稳定性与有界性，且不依赖于变指数参数。
• 解空间被严格定义为 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$，将经典分数阶 Sobolev 空间扩展至变阶和变指数设置。
• 证明了非线性项 $f(x,u)$ 具有次临界增长，这对相关能量泛函的紧性和下确界连续性至关重要。
• 具有凹凸非线性项的问题结构因次线性项与超线性项之间的竞争，允许获得多重性结果。