[论文解读] Existence, nonexistence, symmetry and uniqueness of ground state for critical Schrödinger system involving Hardy term

Senping Luo, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文建立了具有 Hardy 型势和临界非线性项的临界薛定谔系统基态解的存在性、非存在性、对称性与唯一性。通过变分法与尺度变换分析，证明当 $ r \to 3 $ 时，若所有耦合常数 $ \beta_{jk} > 0 $，则存在正基态解；若所有 $ \beta_{jk} < 0 $，则不存在基态解；且解具有径向对称性；进一步地，当 $ r \to 3 $，$ N = 4 $ 时，基态解具有唯一性。

ABSTRACT

We study the following elliptic system with critical exponent: \begin{displaymath} \begin{cases}-Δu_j-\frac{λ_j}{|x|^2}u_j=u_j^{2^*-1}+\sum\limits_{k eq j}β_{jk}α_{jk}u_j^{α_{jk}-1}u_k^{α_{kj}},\;\;x\in\R^N, u_j\in D^{1,2}(\R^N),\quad u_j&gt;0 \;\; \hbox{in} \quad \R^N\setminus \{0\},\quad j=1,...,r.\end{cases}\end{displaymath} Here $N\geq 3, r\geq2, 2^*=\frac{2N}{N-2}, λ_j\in (0, \frac{(N-2)^2}{4})$ for all $ j=1,...,r $; $β_{jk}=β_{kj}$; \; $α_{jk}&gt;1, α_{kj}&gt;1,$ satisfying $α_{jk}+α_{kj}=2^* $ for all $k eq j$. Note that the nonlinearities $u_j^{2^*-1}$ and the coupling terms all are critical in arbitrary dimension $N\geq3 $. The signs of the coupling constants $\bb_{ij}$'s are decisive for the existence of the ground state solutions. We show that the critical system with $r\geq 3$ has a positive least energy solution for all $β_{jk}&gt;0$. However, there is no ground state solutions if all $β_{jk}$ are negative. We also prove that the positive solutions of the system are radially symmetric. Furthermore, we obtain the uniqueness theorem for the case $r\geq 3$ with $N=4$ and the existence theorem when $r=2$ with general coupling exponents.

研究动机与目标

• 建立涉及 Hardy 势与临界非线性耦合的临界薛定谔系统基态解的存在性与非存在性。
• 研究耦合常数 $ \beta_{jk} $ 在决定正最小能量解存在性中的作用。
• 利用移动球面法证明正解的径向对称性。
• 在特定耦合条件下，证明当 $ r \geq 3 $，$ N = 4 $ 时，基态解的唯一性。
• 分析在 Hardy 项与临界 Sobolev 非线性项同时存在的双重临界情形下，系统的行为。

提出的方法

• 在空间 $ D^{1,2}(Ω) $ 中采用变分法，通过在 Nehari 流形上定义能量泛函以定位临界点。
• 应用移动球面法证明正解的径向对称性，表明 $ u_j / u_k $ 为常数，从而推出所有分量成比例。
• 利用尺度变换将问题约化为归一化系统，便于与 Sobolev 嵌入中的已知极值函数进行比较。
• 由齐次性与尺度不变性导出一组代数方程，进而证明归一化轮廓存在正解 $ (c_1, c_2) $。
• 通过集中紧致性与爆破分析，绕过 Palais-Smale 条件，尤其在临界情形 $ N = 4 $ 下。
• 通过证明任意极小化序列收敛于与已知极值函数成比例的轮廓，结合严格凸性与对称性约束，证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种耦合常数 $ \beta_{jk} $ 条件下，具有 Hardy 势的临界薛定谔系统允许存在正基态解？
• RQ2 系统的正解是否具有径向对称性？若具有，其成立的假设条件为何？
• RQ3 当 $ r \geq 3 $ 且 $ N = 4 $ 时，基态解能否被唯一刻画？
• RQ4 当所有 $ \beta_{jk} < 0 $ 时，基态解的存在性如何，特别是在 $ r \geq 3 $ 的情形下？
• RQ5 满足 $ \alpha_{jk} + \alpha_{kj} = 2^* $ 的指数 $ \alpha_{jk}, \alpha_{kj} $ 如何影响解的存在性与结构？

主要发现

• 当 $ r \geq 3 $ 时，若所有耦合常数 $ \beta_{jk} > 0 $，则系统存在正最小能量解，该结论通过在 Nehari 流形上的变分构造得以证明。
• 当所有 $ \beta_{jk} < 0 $ 时，不存在基态解，原因在于变分框架中缺乏强制性与能量控制。
• 系统的所有正解均具有径向对称性，该结论通过移动球面法证明，表明对所有 $ j, k $，有 $ u_j / u_k $ 为常数。
• 当 $ r \geq 3 $ 且 $ N = 4 $ 时，基态解唯一，证明方法为：任意极小化序列收敛于与已知极值函数成比例的唯一轮廓。
• 最小能量水平 $ \Theta $ 由形如 $ (\sqrt{c_1} z, \sqrt{c_2} z, \dots, \sqrt{c_r} z) $ 的解实现，其中 $ z $ 是归一化临界方程的正解。
• 代数系统 $ c_j^{p-1} + \nu \alpha c_j^{\alpha/2 - 1} c_k^{\beta/2} = 1 $ 存在正解，确保了基态候选解的存在性。