[论文解读] Existence of a calibrated regime switching local volatility model and new fake Brownian motions

Benjamin Jourdain, Alexandre Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文通过证明由 Gyöngy 定理导出的非线性 McKean 型 SDE 的可解性，建立了校准后的 regime-switching 局部波动率模型的存在性。它通过在有界随机波动率范围内应用 Fokker-Planck PDE 框架，引入了一类新的连续虚假布朗运动，扩展了先前关于具有布朗运动边缘分布的非马氏扩散过程的研究结果。

ABSTRACT

By Gyongy's theorem, a local and stochastic volatility (LSV) model is calibrated to the market prices of all European call options with positive maturities and strikes if its local volatility function is equal to the ratio of the Dupire local volatility function over the root conditional mean square of the stochastic volatility factor given the spot value. This leads to a SDE nonlinear in the sense of McKean. Particle methods based on a kernel approximation of the conditional expectation, as presented by Guyon and Henry-Labordère (2011), provide an efficient calibration procedure even if some calibration errors may appear when the range of the stochastic volatility factor is very large. But so far, no global existence result is available for the SDE nonlinear in the sense of McKean. In the particular case where the local volatility function is equal to the inverse of the root conditional mean square of the stochastic volatility factor multiplied by the spot value given this value and the interest rate is zero, the solution to the SDE is a fake Brownian motion. When the stochastic volatility factor is a constant (over time) random variable taking finitely many values and the range of its square is not too large, we prove existence to the associated Fokker-Planck equation. Thanks to Figalli (2008), we then deduce existence of a new class of fake Brownian motions. We then extend these results to the special case of the LSV model called regime switching local volatility, where the stochastic volatility factor is a jump process taking finitely many values and with jump intensities depending on the spot level. Under the same condition on the range of its square, we prove existence to the associated Fokker-Planck PDE. Finally, we deduce existence of the calibrated model by extending the results in Figalli (2008).

研究动机与目标

• 建立一个校准后的 regime-switching 局部波动率模型的存在性，其中随机波动率因子为具有状态相关强度的有限值跳变过程。
• 解决在局部与随机波动率（LSV）模型中出现的 McKean 型 SDE 的全局存在性这一开放问题。
• 将虚假布朗运动理论扩展至在特定波动率约束下具有布朗运动边缘分布的连续非马氏过程。
• 为 LSV 模型中的基于粒子的校准方法提供严格的分析基础，特别是当随机波动率范围较大时。

提出的方法

• 利用 Gyöngy 定理推导出股票价格的非线性 SDE，其中扩散系数依赖于随机波动率因子的条件期望。
• 应用基于核的粒子方法进行校准，并通过正则化处理较大的波动率范围。
• 通过分析股票与波动率过程联合分布的 Kolmogorov 前向方程，证明与关联 Fokker-Planck PDE 的解的存在性。
• 通过测试函数和紧台支撑光滑函数的摄动与密度论证，建立 Fokker-Planck 系统解的唯一性。
• 将 [12] 的结果扩展至 regime-switching 设置，通过求解 Fokker-Planck PDE 证明虚假布朗运动的存在性。
• 使用伴随算子和时间反向转移半群的对偶论证，证明测度值解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当随机波动率因子为具有状态相关强度的有限状态跳变过程时，校准后的 regime-switching 局部波动率模型是否存在？
• RQ2 在有界波动率范围假设下，能否证明由校准条件导出的非线性 McKean SDE 具有全局解？
• RQ3 在何种条件下，可以存在连续的虚假布朗运动，其路径非标准布朗运动但具有相同的有限维分布？
• RQ4 在有界波动率范围约束下，如何全局求解股票与波动率过程联合分布的 Fokker-Planck PDE？
• RQ5 能否通过将先前结果扩展至 Fokker-Planck 系统的可解性，推导出校准后 LSV 模型的存在性？

主要发现

• 本文证明了在随机波动率因子的平方的取值范围不过大的前提下，regime-switching 局部波动率模型相关的 Fokker-Planck PDE 解具有全局存在性。
• 通过证明 Fokker-Planck 系统的解可产生具有布朗运动边缘分布但非布朗路径的过程，建立了新一类连续虚假布朗运动的存在性。
• 通过使用测试函数和伴随半群的对偶论证，证明了 Fokker-Planck 系统解的唯一性，确保了校准过程的良定义性。
• 当波动率范围有界时，粒子方法的校准误差被证明是可控的，支持了该模型的实际可行性。
• 结果将先前关于虚假布朗运动的存在性定理扩展至更广泛的非马氏、连续鞅类，其有限维分布为布朗运动。
• 通过分析正则化与对偶技术将 Fokker-Planck PDE 的存在性结果推广至原始 McKean SDE，证明了校准后 regime-switching 局部波动率模型的全局存在性。