[论文解读] Existence of a positive solution for a logarithmic Schrödinger equation with saddle-like potential

Claudianor O. Alves, Chao Ji|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过变分法证明了在鞍形势场下对数薛定谔方程存在正解。通过将Szulkin方法应用于变换后的问题，作者在势场的几何与有界性条件下证明了对应于正解的临界点的存在性，将先前结果推广至对数非线性情形，且 $ c_0 > -1 $。

ABSTRACT

In this article we use the variational method developed by Szulkin \cite{szulkin} to prove the existence of a positive solution for the following logarithmic Schrödinger equation $$ \left\{ \begin{array}{lc} -ε^2Δu+ V(x)u=u \log u^2, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N}, \\ %u(x)>0, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N} \\ u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), & \; \\ \end{array} ight. $$ where $ε>0, N \geq 1$ and $V$ is a saddle-like potential.

研究动机与目标

• 解决对数薛定谔方程在鞍形势场下正解存在的问题，该情形在以往的变分处理中尚未被充分覆盖。
• 通过采用改进的变分框架，克服对数非线性导致能量泛函在 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 上形式上未定义的挑战。
• 将先前针对幂次型非线性项的半线性椭圆方程存在性结果推广至对数情形，尤其在鞍形势场几何条件下。
• 在势场满足几何条件 (V1)-(V3)，包括 $ c_0 > -1 $ 的前提下，建立正解的存在性，该条件推广了早期假设。
• 通过变量替换将原问题转化为适合应用山路引理的形态，从而能够应用Szulkin的变分技术。

提出的方法

• 通过变量替换将原方程 $ -\epsilon^2\Delta u + V(x)u = u\log u^2 $ 变为 $ -\Delta u + V(\epsilon x)u = u\log u^2 $，简化分析。
• 对变换后的问题应用Szulkin的变分方法，该方法适用于可分解为凸泛函与 $ C^1 $-泛函之和的泛函。
• 定义能量泛函 $ J_{\epsilon}(u) = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left( |\nabla u|^2 + (V(\epsilon x) + 1)|u|^2 \right) dx - \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} u^2 \log u^2 \, dx $，在给定条件下该泛函在 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 上有定义。
• 在Sobolev空间 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 中构造一条路径的极小极大类 $ \Gamma $，利用从有界集 $ Q $ 到子集 $ K $ 的形变收缩 $ \Phi $，以捕捉临界点。
• 通过验证Palais-Smale条件并利用拓扑度的同伦不变性，证明极小极大值 $ C_\epsilon = \inf_{h \in \Gamma} \sup_{x \in Q} J(h(x)) $ 是 $ J $ 的临界值。
• 通过最大值原理证明，位于水平 $ C_\epsilon \in (m(c_0) + \sigma/2, 2m(c_0) - \sigma) $ 的临界点为正，因为非线性项 $ f(t) = t \log t^2 $ 为奇函数，且解不变号。

实验结果

研究问题

• RQ1 当势场下确界 $ c_0 $ 满足 $ c_0 > -1 $ 时，对数薛定谔方程在鞍形势场下是否存在正解？
• RQ2 Szulkin的变分方法能否被调整以处理导致能量泛函在 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 上形式上未定义的对数非线性？
• RQ3 在势场 $ V $ 的何种几何与有界性条件下，极小极大方法能产生对应于正解的临界点？
• RQ4 临界水平 $ C_\epsilon $ 是否严格位于 $ m(c_0) + \sigma/2 $ 与 $ 2m(c_0) - \sigma $ 之间，从而确保非平凡解的存在？
• RQ5 通过极小极大方法获得的解是否保持为正？这能否从非线性结构与最大值原理中推导得出？

主要发现

• 本文在条件 (V1)-(V3 下证明了对数薛定谔方程在鞍形势场下存在正解，即使 $ c_0 > -1 $，从而推广了先前结果。
• 极小极大值 $ C_\epsilon $ 位于区间 $ (m(c_0) + \sigma/2, 2m(c_0) - \sigma) $ 内，这确保了Palais-Smale条件成立，从而允许应用临界点理论。
• 通过反证法，作者证明极小极大水平 $ C_\epsilon $ 是能量泛函 $ J $ 的临界水平，从而确认了临界点的存在。
• 位于水平 $ C_\epsilon $ 的临界点为非负，且由最大值原理可知其严格为正，因为非线性项 $ f(t) = t \log t^2 $ 为奇函数，且解不变号。
• 通过形变论证与拓扑度的同伦不变性，作者证明极小极大值 $ C_\epsilon $ 确实为临界水平，从而完成存在性证明。