[论文解读] Existence of almost free abelian groups and reflection of stationary set

Saharon Shelah|ArXiv.org|Jun 15, 1996

Advanced Topology and Set Theory被引用 20

一句话总结

该论文通过力迫和反射原理，证明了在连续基数函数的第一个不动点以下存在几乎自由的阿贝尔群。它解决了关于非反射静止集的关键问题，并证明了NPT（非正规横截）性质不具有传递性，通过使用非反射静止集的迭代力迫，在弱紧基数下证明了一致性结果。

ABSTRACT

section 2: We answer a question of Mekler Eklof on the closure operations of the incompactness spectrum. We answer a question of Foreman and Magidor on reflection of stationary subsets of S_{< aleph_2}(lambda) = {a subseteq lambda : |a| < aleph_2}]. section 3 - NPT is not transitive. We prove NPT(lambda, mu) + NPT(mu, kappa) not => NPT(lambda, kappa)

研究动机与目标

• 证明在连续基数函数的第一个不动点以下，存在λ-自由但非自由的阿贝尔群。
• 解决Foreman和Magidor关于S<ℵ₂(λ)的静止子集反射性问题。
• 回答Mekler和Eklof关于不紧谱中闭包运算的问题。
• 证明NPT（非正规横截）性质不具有传递性，即使在假设NPT(λ,μ)和NPT(μ,κ)成立的情况下。
• 通过使用非反射静止集的力迫，构造出NPT(λ,μ)和NPT(μ,ℵ₀)成立但NPT(λ,ℵ₀)不成立的模型。

提出的方法

• 使用非反射静止子集S ⊆ {δ < λ : cf(δ) = κ}的力迫，以在消灭反射性的同时保持NPT性质。
• 应用带有Easton支撑和ℵ₀-柯尼格力迫的迭代力迫，构造出NPT(λ,ℵ₀)不成立但NPT(λ,μ)和NPT(μ,ℵ₀)成立的模型。
• 使用理想J^bd_κ和序列⟨f_α : α < μ⟩ ∈ ∏_{i<κ} λ_i / J来定义序列的良点、坏点和混沌点。
• 使用<_J-eub（模J的精确上界）概念来刻画序列是否具有横截。
• 应用如下原理：若一个静止集与一个非反射静止集不相交，且未添加有界子集，则PT(λ,ℵ₀)成立。
• 依赖Shelah的[Sh:355]、[Sh:161]和[MgSh:204]中的结果，将问题约化为已知的不紧现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个λ-自由但非自由的阿贝尔群，其中λ小于连续基数函数的第一个不动点？
• RQ2 S<ℵ₂(λ)的静止子集是否可能不反射？在何种条件下？
• RQ3 NPT性质是否具有传递性？即，若NPT(λ,μ)和NPT(μ,κ)成立，是否必有NPT(λ,κ)成立？
• RQ4 能否构造一个模型，使得NPT(λ,μ)和NPT(μ,ℵ₀)成立但NPT(λ,ℵ₀)不成立，假设两个弱紧基数存在的一致性？
• RQ5 非反射静止集在阿贝尔群构造中，对保持或破坏横截存在性起什么作用？

主要发现

• 对于λ < α = ℵ_α且α > ℵ₀的情况，存在一个λ-自由但非自由的阿贝尔群，这证实了[Sh:161]中的ZFC结果。
• 本文证明NPT(λ,μ)和NPT(μ,ℵ₀)不能推出NPT(λ,ℵ₀)，从而说明NPT性质不具有传递性。
• 构造了一个模型，其中NPT(λ,μ)和NPT(μ,ℵ₀)成立但NPT(λ,ℵ₀)不成立，该模型通过添加集合{δ < λ : cf(δ) = κ}的非反射静止子集的力迫实现。
• 该失败的一致性结果在假定存在两个大于ℵ₀的弱紧基数的前提下得以建立。
• 该方法保持了PT(κ,ℵ₀)，且未添加λ的有界子集，因此在通用扩张中不紧性依然存在。
• 该结果依赖于如下事实：若一个静止集与一个非反射静止集不相交，且未添加有界子集，则PT(λ,ℵ₀)成立，该性质在力迫扩张下得以保持。