[论文解读] Existence of $C^{1,1}$ critical sub-solutions of the Hamilton-Jacobi equation on compact manifolds

Patrick Bernard|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文在Mather的弱KAM理论框架下，针对紧流形上的哈密顿-雅可比方程，给出了$C^{1,1}$临界次解存在的简洁、自完备证明。通过半凹函数的性质及Lax-Oleinik半群，证明了此类次解的存在性，并可选取为在Aubry集外严格成立，从而在相空间的不变集中实现最优正则性与动力学意义。

ABSTRACT

We prove the existence of a critical subsolution of the Hamilton-Jacobi equation which is differentiable with Lipschitz differential, improving a previous result of Fathi and Siconolfi. This text is a consolidated version with a minor mistake corrected from the published version.

研究动机与目标

• 在Mather弱KAM理论背景下，建立哈密顿-雅可比方程$C^{1,1}$次解存在的证明。
• 提供一种简单、自完备的证明，避免先前方法的技术复杂性。
• 证明$C^{1,1}$次解在所有次解的统一拓扑下是稠密的。
• 推导动力学后果，特别是证明存在位于Lipschitz图像中的不变集。
• 证明临界次解可在投影Aubry集外严格满足。

提出的方法

• 利用Lax-Oleinik半群$T_t$及其对偶$\breve{T}_t$，从连续函数生成次解。
• 应用半凹函数理论，特别是$K$-半凹性，以控制正则性并推导$C^{1,1}$性质。
• 采用有界$C^2$函数族表示次解为下确界，确保对二阶导数的统一控制。
• 使用近邻上导数与$K$-上导数刻画次解在每一点的正则性。
• 通过扰动哈密顿量$H + V$的正则化技术构造严格次解。
• 依赖Fathi框架中次解条件与半群作用单调性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当紧流形上存在Lipschitz次解时，哈密顿-雅可比方程是否存在$C^{1,1}$临界次解？
• RQ2 能否构造出在Aubry集外严格成立的$C^{1,1}$次解？
• RQ3 在统一拓扑下，$C^{1,1}$次解在所有次解空间中是否稠密？
• RQ4 从$C^{1,1}$临界次解的存在性中可推导出哪些动力学不变量？
• RQ5 $C^{1,1}$正则性是否最优？是否存在不存在$C^2$次解但存在$C^{1,1}$次解的例子？

主要发现

• 对于任意紧流形上的Tonelli哈密顿量，只要存在次解，则$C^{1,1}$临界次解存在。
• 在所有次解空间的统一拓扑下，$C^{1,1}$次解集合是稠密的。
• 可构造出在投影Aubry集$\mathcal{A}(H)$外严格成立的临界$C^{1,1}$次解，即在$\mathcal{A}(H)$的补集上满足$H(x,du_x) < \alpha(H)$。
• 证明了Aubry集$\tilde{\mathcal{A}}(H)$是非空、紧致、不变的集合，位于$H^{-1}(\alpha(H))$内，且包含于一个$C^{1,1}$临界次解的图像中。
• Aubry集$\tilde{\mathcal{A}}(H)$在其投影$\mathcal{A}(H)$上是Lipschitz图像，且该结构可直接由在$\mathcal{A}(H)$外严格成立的$C^{1,1}$次解的存在性推出。
• 附录A中的例子证实$C^{1,1}$正则性是最优的，因为存在情形下不存在$C^2$次解，即使存在$C^{1,1}$次解。