[论文解读] Existence of common hypercyclic vectors for translation operators

Nikos Tsirivas|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文证明了存在一个残集（residual set）的整函数，这些函数是 uncountably many 由非零复数列 $({\lambda}_n)$ 诱导的平移算子的公共超循环向量，其中 $|{\lambda}_n| \to \infty$ 且 $|{\lambda}_{n+1}|/|{\lambda}_n| \to 1$。利用 Baire 余集理论，本文证明了对于此类序列，所有非零 $a \in \mathbb{C}$ 满足 $\{f(z + {\lambda}_n a)\}_{n=1}^\infty$ 在 $\mathcal{H}(\mathbb{C})$ 中稠密的函数 $f$ 的集合是残集，从而将 Costakis 和 Sambarino 的结果从 $\lambda_n = n$ 的情形推广至更一般的情形。该结果在精确的渐近意义下被证明是最佳的。

ABSTRACT

We prove the existence of common hypercyclic, entire functions for certain families of translation operators.

研究动机与目标

• 将 Costakis 和 Sambarino 关于整数平移下公共超循环函数的结果推广至更一般的复数列 $({\lambda}_n)$。
• 确定在何种增长与比值条件下，对于所有非零平移参数 $a \in \mathbb{C}$，存在残集的公共超循环向量。
• 证明条件 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to 1$ 对于此类公共超循环向量的存在性是基本必要的。
• 提供一个全面的序列类 $({\lambda}_n)$，满足所需的渐近比值条件，包括超多项式增长和非单调增长的序列。

提出的方法

• 应用 Baire 余集定理，证明在局部一致收敛拓扑下，公共超循环向量的集合在 $\mathcal{H}(\mathbb{C})$ 中是残集。
• 通过子序列比值集的上极限定义 $i(\Lambda) = 1$，来刻画满足公共超循环性的序列 $({\lambda}_n)$。
• 构造满足 $|\lambda_n| \to \infty$ 且 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to 1$ 的显式序列例子，包括多项式、对数和超多项式增长类型。
• 提出一种新颖的构造方法，基于十进制幂的整数唯一表示，生成满足 $\inf \mathcal{B}(\Lambda) \notin \mathcal{B}(\Lambda)$ 但 $i(\Lambda) = 1$ 的序列。
• 分析集合 $\mathcal{B}(\Lambda)$ 的行为，该集合定义为所有子序列 $\mu_n$ 的 $\limsup |\mu_{n+1}/\mu_n|$ 的集合，以刻画临界增长阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些非零复数列 $({\lambda}_n)$ 满足 $|{\lambda}_n| \to \infty$，存在一个残集的整函数 $f$，使得对每个非零 $a \in \mathbb{C}$，集合 $\{f(z + {\lambda}_n a)\}_{n=1}^\infty$ 在 $\mathcal{H}(\mathbb{C})$ 中稠密？
• RQ2 条件 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to 1$ 是否对于此类公共超循环向量的存在性是必要的？
• RQ3 该结果能否超越 Costakis 和 Sambarino 之前证明的 $\lambda_n = n$ 的情形？
• RQ4 是否存在满足 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to l > 1$ 的序列 $({\lambda}_n)$，使得不存在此类公共超循环向量？

主要发现

• 存在一个残集 $G \subset \mathcal{H}(\mathbb{C})$，使得对每个 $f \in G$ 和每个非零 $a \in \mathbb{C}$，在拓扑 $\mathcal{T}_u$ 下，集合 $\{f(z + \lambda_n a)\}_{n=1}^\infty$ 在 $\mathcal{H}(\mathbb{C})$ 中稠密，前提是 $|\lambda_n| \to \infty$ 且 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to 1$。
• 该结果在最优意义下成立：存在序列 $({\lambda}_n)$ 满足 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to l > 1$，使得不存在公共超循环向量，如参考文献 [24] 所示。
• 本文构造了四类不同的序列 $({\lambda}_n)$，满足 $|\lambda_n| \to \infty$ 且 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to 1$，包括 $n^2$、$\log n$、$e^{n^c}$（$0 < c < 1$）以及 $e^{n / \log n}$。
• 通过基于十进制幂的整数唯一表示，提出了一类新序列，其满足 $i(\Lambda) = 1$ 但 $\inf \mathcal{B}(\Lambda) \notin \mathcal{B}(\Lambda)$，从而展示了该条件的稳健性。
• 结果确认，条件 $|\lambda_{n+1}|/|\lambda_n| \to 1$ 不仅是充分的，而且对于所有非零平移参数 $a \in \mathbb{C}$ 下公共超循环向量的存在性而言，也是基本必要的。