[论文解读] Existence of complete Lyapunov functions for semiflows on separable metric spaces

Mauro Patrão|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2011

advanced mathematical theories参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文通过构造连续函数 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $，其中 $ \ell $ 是时间一映射 $ \phi^1 $ 的完备李雅普诺夫函数，证明了在可分度量空间上半流存在完备李雅普诺夫函数。其关键贡献在于证明了此类函数在这一广泛的空间类中存在，将先前在紧致空间中的结果推广至可分度量空间。

ABSTRACT

The aim of this short note is to show how to construct a complete Lyapunov function of a semiflow by using a complete Lyapunov function of its time-one map. As a byproduct we assure the existence of complete Lyapunov functions for semiflows on separable metric spaces.

研究动机与目标

• 将完备李雅普诺夫函数的存在性从紧致空间推广至可分度量空间。
• 提出一种利用时间一映射构造半流完备李雅普诺夫函数的可构造方法。
• 将动力系统基本定理推广至可分度量空间上的半流。
• 验证所构造的函数满足完备李雅普诺夫函数的三个公理：单调性、链递归集上像的无处稠密性，以及水平集为链传递分量。

提出的方法

• 定义 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $，其中 $ \ell $ 是时间一映射 $ \phi^1 $ 的完备李雅普诺夫函数。
• 利用 $ \ell \circ \phi^t $ 在紧致区间 $ t \in [0,1] $ 上的一致连续性及有限覆盖论证，证明 $ L $ 的连续性。
• 证明 $ L(\phi^s(x)) = \int_s^{1+s} \ell(\phi^t(x)) \, dt $，从而实现轨道上 $ L $-值的比较。
• 利用 $ \mathcal{R}_C(\phi^t) = \mathcal{R}_C(\phi^1) $ 的事实，建立半流与映射的链递归集之间的联系。
• 证明当 $ c \in \ell(\mathcal{R}_C(\phi^1)) $ 时，有 $ L^{-1}(c) = \ell^{-1}(c) $，确保水平集为链传递分量。
• 利用 Hurley 在可分度量空间上映射存在完备李雅普诺夫函数的结果，保证 $ \ell $ 的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从时间一映射的完备李雅普诺夫函数构造出半流的完备李雅普诺夫函数？
• RQ2 时间一映射存在完备李雅普诺夫函数是否意味着在可分度量空间上半流也存在此类函数？
• RQ3 半流与其时间一映射的链递归集和链传递分量是否等价？
• RQ4 积分构造 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ 是否保持完备李雅普诺夫函数所需性质？
• RQ5 函数 $ L $ 在链递归集上的像是 $[0,1]$ 中的无处稠密集吗？

主要发现

• 函数 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ 是从 $ X $ 到 $[0,1]$ 的良好定义且连续的函数。
• 对于 $ x \in \mathcal{R}_C(\phi^t) $，映射 $ t \mapsto L(\phi^t(x)) $ 为常数；而对于 $ x \notin \mathcal{R}_C(\phi^t) $，该映射严格递减。
• 像集 $ L(\mathcal{R}_C(\phi^t)) = \ell(\mathcal{R}_C(\phi^1)) $ 在 $[0,1]$ 中无处稠密，满足完备李雅普诺夫函数的关键要求。
• 对每个 $ c \in L(\mathcal{R}_C(\phi^t)) $，水平集 $ L^{-1}(c) $ 等于 $ \ell^{-1}(c) $，即 $ \mathcal{R}_C(\phi^t) $ 的一个链传递分量。
• 该构造确保 $ L $ 满足完备李雅普诺夫函数的全部三个公理。
• 作为推论，所有在可分度量空间上的半流均存在完备李雅普诺夫函数，将先前在紧致情形的结果推广至非紧致情形。