[论文解读] Existence of extremal functions for a family of Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities

Xuexiu Zhong, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文通过证明在大参数范围内极值常数可被实现，建立了在圆锥型区域（包括 $\mathbb{R}^N$）中广义 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式极值函数的存在性。此外，本文还确定了加权 Sobolev 空间到加权 $L^r$ 空间紧嵌入的充分条件，从而为具有奇异权函数的拟线性椭圆方程解的存在性提供了结果。

ABSTRACT

Consider the following inequalities due to Caffarelli, Kohn and Nirenberg {\it (Compositio Mathematica,1984):} $$\Big(\int_Ω\frac{|u|^r}{|x|^s}dx\Big)^{\frac{1}{r}}\leq C(p,q,r,μ,σ,s)\Big(\int_Ω\frac{| abla u|^p}{|x|^μ}dx\Big)^{\frac{a}{p}}\Big(\int_Ω\frac{|u|^q}{|x|^σ}dx\Big)^{\frac{1-a}{q}},$$ where $Ω\subset \R^N (N\geq 2)$ is an open set; $p, q, r, μ, σ, s, a$ are some parameters satisfying some balanced conditions. When $Ω$ is a cone in $\R^N$ (for example, $Ω=\R^N)$, we prove the sharp constant $C(p,q,r,μ,σ,s)$ can be achieved for a very large parameter space. Besides, we find some sufficient conditions which guarantee that the following Sobolev spaces $$W_μ^{1,p}(Ω),\; W_μ^{1,p}(Ω)\cap L^p(Ω), \; H^{1,p}(\R^N) $$ are compactly embedded into $L^r(\R^N, \frac{dx}{|x|^s})$ for some new ranges of parameters, where $\displaystyle W_μ^{1,p}(Ω)$ is the completion of $C_0^\infty(Ω)$ with respect to the norm $\displaystyle \Big(\int_Ω\frac{ | abla u|^p}{|x|^μ}dx\Big)^{\frac{1}{p}}. $ As applications, we also study the equation $$\displaystyle -div\Big(\frac{| abla u|^{p-2} abla u}{|x|^μ}\Big)=λV(x)|u|^{q-2}u, \;\;\; u\in W_μ^{1,p}(Ω)$$ under some proper conditions on $V(x)$.

研究动机与目标

• 在圆锥型区域（包括 $\mathbb{R}^N$）中，建立广义 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式极值函数的存在性。
• 确定加权 Sobolev 空间 $W_{\mu}^{1,p}(\Omega)$ 紧嵌入到 $L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$ 的充分条件，适用于新的参数范围。
• 将极值函数的存在性应用于研究形如 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda V(x)|u|^{q-2}u$ 的拟线性椭圆方程解的存在性。

提出的方法

• 使用对称化与变分方法分析 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式极值函数的存在性。
• 将原始不等式转化为涉及参数 $\mu, \sigma, \alpha, \beta$ 和 $\gamma = a\sigma + (1-a)\beta$ 的加权范数形式。
• 应用 Rellich-Kondrachov 定理与紧嵌入准则，建立到加权 $L^r$ 空间的嵌入紧致性。
• 引入关于势函数 $V(x)$ 的一般假设 $(H)$，以通过临界点理论确保解的存在性。
• 利用 Nehari 流形方法与能量估计，构造具有受控能量水平的解序列。
• 在不同类型的区域（有界、有限测度或具有特定衰减性）下，验证可积性条件，以满足 $V(x) = |x|^{-\sigma}$ 时假设 $(H)$ 的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种参数条件下，Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式中的最优常数在 $\mathbb{R}^N$ 或圆锥型区域中由极值函数实现？
• RQ2 对于哪些 $p, q, r, \mu, \sigma, s$ 的范围，嵌入 $W_{\mu}^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$ 是紧致的？
• RQ3 方程 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda |x|^{-\sigma}|u|^{q-2}u$ 何时存在具有受控能量水平的非平凡解序列？
• RQ4 对 $V(x)$ 的何种条件可确保应用变分方法所必需的假设 $(H)$ 成立？
• RQ5 解序列的渐近行为如何依赖于非线性项中 $q$ 与 $p$ 的相对大小？

主要发现

• 当 $\Omega$ 为圆锥型区域（包括 $\mathbb{R}^N$）时，在标准平衡与有界性条件下，Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式中的最优常数在大参数范围内可被极值函数实现。
• 建立了 $W_{\mu}^{1,p}(\Omega)$ 到 $L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$ 的新参数范围内的紧嵌入，尤其在 $\mu + p < N$ 且 $\sigma < \mu + p$ 时成立。
• 当 $q = p$ 时，方程 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda |x|^{-\sigma}|u|^{p-2}u$ 存在趋于无穷的特征值序列 $\lambda_n \to \infty$。
• 当 $q > p$ 时，方程存在能量趋于无穷的解序列 $c_n \to \infty$；而当 $q < p$ 时，能量满足 $c_n \to 0$。
• $V(x) = |x|^{-\sigma}$ 在适当参数约束下，对有界域与有限测度域均满足假设 $(H)$，从而可应用变分方法。
• 极值函数的存在性与紧嵌入性使得可通过 Nehari 流形上的临界点理论构造出拟线性方程的无穷多解。