[论文解读] Existence of fixed points for a particular multifunction

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明了在具有Kadec-Klee性质的无限维一致凸Banach空间单位球面上，由紧映射导出的特定多值函数存在不动点。通过将上半连续多值函数与连续收缩复合，并应用Fan-Kakutani不动点定理，证明了在条件 $\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$ 下，存在一点 $\hat{x} \in S$ 使得 $f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$。

ABSTRACT

We prove a fixed point theorem for a particular multifunction from the unit sphere of a reflexive Banach space with the Kadec-Klee property into itself.

研究动机与目标

• 建立连续紧映射 $f: S \to E^*$ 在自反Banach空间单位球面上存在点 $\hat{x} \in S$ 使得 $f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$ 的条件。
• 研究Kadec-Klee性质在保证此类点存在性中的必要性。
• 证明自反性、$f$ 的紧性以及下确界条件 $\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$ 的组合可保证解的存在。
• 探讨在多值函数框架下，通过Fan-Kakutani定理，上半连续性与凸性所起的作用。
• 提出一个更广泛的问题：在所述条件下，Kadec-Klee性质是否为不动点性质所必需？

提出的方法

• 定义多值函数 $\Phi_f(x) = \{y \in S : f(x)(y) = \|f(x)\|_{E^*}\}$，将问题转化为寻找 $\Phi_f$ 的不动点。
• 构造多值函数 $\Psi: E^* \setminus \{0\} \to 2^S$，定义为 $\Psi(\varphi) = \{x \in S : \varphi(x) = \|\varphi\|_{E^*}\}$，并利用弱收敛与Kadec-Klee性质证明其上半连续性。
• 利用Eberlein–S̆mulyan定理证明，在Kadec-Klee性质下，$S$ 的弱紧子集在范数拓扑下是紧的，从而保证当 $\varphi \neq 0$ 时 $\Psi(\varphi)$ 是紧的。
• 利用收缩映射 $\omega: B \to S$（满足对所有 $x \in S$ 有 $\omega(x) = x$，其中 $B$ 为闭单位球）定义复合映射 $G(x) = \Psi(f(\omega(x)))$，其定义在紧凸集 $Y$ 上。
• 对从紧凸集 $Y$ 到其自身的上半连续多值函数 $G: Y \to 2^Y$（取值非空、闭、凸）应用Fan-Kakutani不动点定理，得到不动点 $\hat{x} \in Y$ 满足 $\hat{x} \in G(\hat{x})$。
• 利用 $\hat{x} \in S$ 蕴含 $\omega(\hat{x}) = \hat{x}$ 的事实，得出 $\hat{x} \in \Phi_f(\hat{x})$，从而满足所要求的等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自反Banach空间 $E$ 满足何种条件下，每个满足 $\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$ 的紧映射 $f: S \to E^*$ 都存在点 $\hat{x} \in S$ 使得 $f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$？
• RQ2 当 $E$ 为无限维且自反时，Kadec-Klee性质是否为该类不动点存在的必要条件？
• RQ3 若不假设 $f$ 的紧性，即使 $E$ 是自反且具有Kadec-Klee性质，是否仍能保证不动点性质？
• RQ4 范数实现多值函数 $\Psi$ 的上半连续性在存在性证明中起何作用？
• RQ5 是否存在收缩映射 $\omega: B \to S$ 满足在 $S$ 上恒等，使得该构造可应用于不动点定理的框架？

主要发现

• 本文证明：若 $E$ 是具有Kadec-Klee性质的无限维实自反Banach空间，且 $f: S \to E^*$ 是紧映射且满足 $\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$，则存在 $\hat{x} \in S$ 使得 $f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$。
• 由 $\Psi(\varphi) = \{x \in S : \varphi(x) = \|\varphi\|_{E^*}\}$ 定义的多值函数 $\Psi: E^* \setminus \{0\} \to 2^S$ 是上半连续的，这是证明中的关键步骤。
• 在Kadec-Klee性质与自反性下，由于 $K = \overline{f(S)}$ 是不包含零的紧集，故 $\Psi(K)$ 在 $S$ 中是紧的。
• 复合映射 $G(x) = \Psi(f(\omega(x)))$ 定义了一个从紧凸集 $Y$ 到其自身的上半连续多值函数，且取值非空、闭、凸。
• Fan-Kakutani不动点定理保证存在 $\hat{x} \in Y$ 满足 $\hat{x} \in G(\hat{x})$，且由于 $\hat{x} \in S$，有 $\hat{x} \in \Phi_f(\hat{x})$。
• 本文提供了反例，表明若移除 $E$ 的无限维性或 $f$ 的紧性，结论将不成立，且证明了条件 (1) 是必要的。