[论文解读] Existence of Gibbs measures relative to Brownian motion

Volker Betz|ArXiv.org|Jul 25, 2001

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 16被引用 15

一句话总结

本文在势函数满足较弱条件的情况下，建立了相对于布朗运动的无限体积吉布斯测度的存在性。通过引入停时估计和对成对势 $W$ 的一致可积性条件，作者证明了即使 $V$ 在无穷远处不增长，该测度依然存在，从而将结果推广至质量零的Nelson模型等模型，并给出了路径波动的上界。

ABSTRACT

We prove existence of infinite volume Gibbs measures relative to Brownian motion. We require the pair potential W to fulfill a uniform integrability condition, but otherwise our restrictions on the potentials are relatively weak. In particular, our results are applicable to the massless Nelson model. We also prove an upper bound for path fluctuations under the infinite volume Gibbs measures.

研究动机与目标

• 在势函数 $V$ 不具备强增长性或凸性假设的前提下，建立相对于布朗运动的无限体积吉布斯测度的存在性。
• 相较于先前工作，减弱对成对势 $W$ 的限制，仅需一致可积性条件与路径上的平移条件。
• 将吉布斯测度存在性的适用范围扩展至如质量零Nelson模型等模型，其中 $V$ 在无穷远处不增长。
• 在无限体积吉布斯测度下，给出路径波动的上界，刻画路径在无穷远处的典型行为。
• 证明极限测度 $\mu$ 是相对于布朗运动的吉布斯测度，满足吉布斯系统条件概率结构。

提出的方法

• 利用停时估计控制路径的增长，建立有限体积测度的紧性。
• 对 $W$ 应用一致可积性条件，该条件在 $C(\bbR, \bbR^d)$ 中所有路径上一致成立，确保相互作用能量受控。
• 采用对 $W$ 的路径平移条件，该条件隐含但对许多具体例子可验证，替代了如凸性或小耦合常数等更强假设。
• 依赖于薛定谔算子 $H_0 = -\frac{1}{2}\Delta + V$ 的基态 $\psi_0$ 的存在性，以构造平稳参考测度。
• 通过对角序列法与弱收敛性，从有限体积测度 $\mu_T^{y,z}$ 中提取出无限体积聚点 $\mu$。
• 应用Borel-Cantelli引理与 $\mu$ 的平稳性，基于 $\psi_0$ 的衰减速率推导出路径增长的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $V$ 与 $W$ 的条件下，即使 $V$ 在无穷远处不增长，相对于布朗运动的无限体积吉布斯测度依然存在？
• RQ2 能否在不假设 $V$ 凸性、$W$ 耦合常数较小或 $V$ 可微的条件下，建立此类吉布斯测度的存在性？
• RQ3 在无限体积吉布斯测度下，路径的典型行为（波动尺度）如何？其与基态 $\psi_0$ 衰减速率有何关联？
• RQ4 极限测度 $\mu$ 是否为相对于布朗运动的吉布斯测度，且满足关于 $W$ 的条件概率结构？
• RQ5 该方法能否应用于物理上相关的模型，如质量零Nelson模型，其中 $V(x) = -1/|x|$ 且 $W$ 为长程势？

主要发现

• 即使 $V$ 在无穷远处不增长，只要 $W$ 满足一致可积性条件与路径平移条件，无限体积吉布斯测度 $\mu_\infty$ 依然存在。
• 该方法适用于质量零Nelson模型，其中 $V(x) = -1/|x|$ 且 $W(x,y,t) = -1/(|x-y|^2 + t^2 + 1)$，该势满足所有所需条件。
• 建立了路径波动的上界：对 $\mu$-几乎处处的路径 $x$，若 $\sum_{n=1}^\infty \int_{|y|>f(n)} \psi_0(y)\,dy < \infty$，则 $\limsup_{|t|\to\infty} \frac{|x_t|}{f(|t|)} \leq 1$。
• 当 $\psi_0(y) \leq A \exp(-\beta|y|^{s+1})$ 时，上界变为 $\limsup_{|t|\to\infty} \frac{|x_t|}{(\gamma \ln|t|)^{s+1}} = 0$，其中 $\gamma > 1/\beta$，刻画了路径增长的缓慢性。
• 极限测度 $\mu$ 是相对于布朗运动的吉布斯测度，满足 $\mu(\cdot \mid \mathcal{T}_S) = \mu^{S,\bar{x}}$ 几乎必然。
• 该存在性证明避免了簇展开、相关不等式或小耦合常数的使用，因此比先前方法更具普遍性。