[论文解读] Existence of Global Weak Solutions for 2D Shallow Water Equations with its degenerate viscosity

Alexis Vasseur, Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用 2

一句话总结

本文通过Bresch-Desjardins熵框架，证明了在退化粘性条件下，三维可压缩Navier-Stokes方程存在全局弱解。即使在第一级近似层次下该不等式不成立，仍成功推导出适用于弱解的Mellet-Vasseur型不等式，从而解决了Lions提出的关于任意γ > 1及大初始数据（包括真空状态）的开放问题。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of global weak solutions for 3D compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity. The method is based on the Bresch and Desjardins entropy conservation. The main contribution of this paper is to derive the Mellet-Vasseur type inequality for the weak solutions, even if it is not verified by the first level of approximation. This provides existence of global solutions in time, for the compressible Navier-Stokes equations, for any $\gamma>1$, in three dimensional space, with large initial data possibly vanishing on the vacuum. This solves an open problem proposed by Lions.

研究动机与目标

• 建立三维可压缩Navier-Stokes方程在退化粘性条件下的全局弱解存在性。
• 解决Lions提出的关于大初始数据及可能存在真空区域的解的存在性这一开放问题。
• 将Mellet-Vasseur型不等式推广至弱解，即使其在初始近似层次不成立。
• 在三维空间中，对任意γ > 1（包括真空情形）证明解的存在性。
• 基于熵守恒，为退化粘性可压缩黏性流提供一个严格的理论框架。

提出的方法

• 利用Bresch与Desjardins提出的熵守恒结构，控制解的行为。
• 为弱解推导出Mellet-Vasseur型不等式，即使该不等式在第一级近似中不成立。
• 基于熵与能量结构，应用先验估计，控制解在L∞(L2)与L2(H1)空间中的行为。
• 采用带有退化粘性的黏性正则化方法，以处理真空区域。
• 运用紧致性论证与弱收敛技术，实现近似格式中极限的取法。
• 依赖动量方程与压强定律的结构，推导出与粘性退化无关的统一有界性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有退化粘性与大初始数据的三维可压缩Navier-Stokes方程建立全局弱解？
• RQ2 当该不等式在初始近似层次不成立时，是否仍可为弱解推导出Mellet-Vasseur型不等式？
• RQ3 Bresch-Desjardins熵框架是否允许在存在真空的情况下得出解的存在性结果？
• RQ4 能否将存在性结果推广至三维空间中任意γ > 1且具有退化粘性的条件？
• RQ5 当粘性在真空附近退化时，如何利用熵结构来控制解？

主要发现

• 对于任意γ > 1，三维可压缩Navier-Stokes方程在退化粘性条件下存在全局弱解。
• 即使在初始近似层次不满足，仍成功为弱解推导出Mellet-Vasseur型不等式。
• 该解框架可容纳大初始数据，包括初始密度在某些区域为零（即真空）的情形。
• Bresch-Desjardins熵结构支持统一估计，这对紧致性与收敛性至关重要。
• 该存在性结果解决了Lions长期提出的关于含真空的可压缩Navier-Stokes方程的开放问题。
• 该方法为处理可压缩流体动力学中退化粘性与真空问题提供了稳健的理论框架。