[论文解读] Existence of infinitely many minimal hypersurfaces in closed manifolds

Antoine Song|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 46

一句话总结

该论文证明，在任意维数为 3 到 7 的闭合黎曼流形中，存在无限多个光滑嵌入的闭合极小高超曲面，通过极值极大理论解决 Yau 的猜想。

ABSTRACT

Using min-max theory, we show that in any closed Riemannian manifold of dimension at least 3 and at most 7, there exist infinitely many smoothly embedded closed minimal hypersurfaces. It proves a conjecture of S.-T. Yau. This paper builds on the methods developed by F. C. Marques and A. Neves.

研究动机与目标

• 在高维情形下动机与解决通过面积泛函的临界点来构造极小超曲面的研究问题。
• 将极值极大方法扩展到非泛泛指标之外，以获得几何上不同的极小超曲面。
• 在 Frankel 型设置或通过核心边界论证下，显示极小超曲面的计数是无穷的。
• 提供一个框架，将极值极大超曲面局部化到一个紧致核心内，利用圆柱端构造实现。

提出的方法

• 在维数 3–7 应用 Almgren–Pitts 型极值极大理论以产生极小超曲面。
• 从具有稳定边界的核心 U 构造非紧致圆柱端流形 C(U)，以将极值极大曲面固定在 U 内。
• 发展一个圆柱 Weyl 定律，展示体积谱的宽度 ω_p 相对于端点呈线性渐近行为。
• 将宽度与极小超曲面的面积的整数倍相关联，并在核心中只有有限多个存在时推导矛盾。
• 使用一个用于度量扰动下的变分流形的辅助完整性结果，确保极限是整数且对应于光滑的极小超曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭合的维数 3–7 的流形是否包含无限多个光滑嵌入的闭合极小超曲面？
• RQ2 如何改编极值极大理论以在没有多重性歧义的情况下产生几何上不同的极小超曲面？
• RQ3 是否可以将先前的泛泛指标结果推广到非泛泛指标并仍然得到 Yau 的猜想？
• RQ4 圆柱端构造和 Weyl 型定律在保证极值极大宽度线性增长中起到怎样的作用？

主要发现

• 在任意维数 3–7 的闭合流形中存在无限多个光滑嵌入的闭合极小超曲面。
• 构造依赖于非紧致圆柱端框架和圆柱 Weyl 定律的体积谱。
• 宽度 ω_p 与 p 线性增长，使得若核心内只有有限多个极小超曲面则出现矛盾。
• 通过在稳定极小超曲面处切割并用 Frankel 型性质分析得到的核心，该论证排除了内部极小超曲面的有限族。
• 该结果建立并扩展了 Marques–Neves 的方法，并移除了在该区间内获得 Yau 的猜想所需的泛泛指标条件。
• 作为副产品，在某些条件下（例如颤动度量），无穷多个极小超曲面也在局部出现。