[论文解读] Existence of infinitely many solutions for the fractional Schrödinger- Maxwell equations

Zhongli Wei|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文通过变分法和临界点理论，证明了在 $\mathbb{R}^3$ 中，分数阶薛定谔-麦克斯韦方程组存在无穷多组非平凡解。在势能 $V(x)$ 和非线性项 $f(x,u)$ 满足适当条件（包括渐近增长和对称性假设）下，作者利用山形定理证明了临界值的无界序列的存在性，将结果推广至分数阶拉普拉斯算子情形，其中 $\alpha \in (0,1]$。

ABSTRACT

In this paper, by using variational methods and critical point theory, we shall mainly study the existence of infinitely many solutions for the following fractional Schrödinger-Maxwell equations $$( -Δ)^α u+V(x)u+ϕu=f(x,u), \hbox{in } \mathbb{R}^3 ,$$ $$ (- riangle)^αϕ=K_α u^2 \ \ \mathrm{in}\ \ \mathbb{R}^3 $$ where $α\in (0,1],$ $K_α=\dfrac{π^{-α}Γ(α)}{π^{-(3-2α)/2}Γ((3-2α)/2)},$ $( -Δ)^α$ stands for the fractional Laplacian. Under some more assumptions on $f,$ we get infinitely many solutions for the system.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中建立分数阶薛定谔-麦克斯韦方程组存在无穷多组非平凡解的证明。
• 将山形定理框架拓展至 $\alpha \in (0,1]$ 的分数阶拉普拉斯算子情形。
• 在 $V(x)$ 满足强制性条件、$f(x,u)$ 满足适当增长与对称性条件的前提下分析该系统。
• 证明关联能量泛函存在无界临界值序列。

提出的方法

• 采用变分法与临界点理论，特别是山形定理，研究该系统相关联的能量泛函。
• 通过傅里叶变换定义分数阶拉普拉斯算子：$\mathcal{F}((-\Delta)^\alpha u)(\xi) = |\xi|^{2\alpha} \mathcal{F}(u)(\xi)$。
• 使用奇异积分表示：$(-\Delta)^\alpha u(x) = c_{3,\alpha} \, \mathrm{P.V.} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{u(x) - u(y)}{|x-y|^{3+2\alpha}} \, dy$。
• 建立 $H^\alpha(\mathbb{R}^3)$ 到 $L^r(\mathbb{R}^3)$ 的紧嵌入，其中 $2 \leq r < 2_\alpha^*$，且 $2_\alpha^* = \frac{6}{3-2\alpha}$。
• 应用山形定理，通过验证 Cerami 条件、泛函的对称性，以及泛函在有限维与无限维子空间上的行为。
• 利用分解 $E = Y_m \oplus Z_m$，其中 $Y_m$ 为有限维子空间，$Z_m$ 为无限维子空间，以应用山形定理框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $V(x)$ 与 $f(x,u)$ 条件下，分数阶薛定谔-麦克斯韦系统存在无穷多组非平凡解？
• RQ2 非线性项 $f(x,u)$ 的渐近增长与对称性特性如何影响多重解的存在性？
• RQ3 山形定理能否被调整以证明 $\alpha \in (0,1]$ 情形下分数阶薛定谔-麦克斯韦系统存在无穷多组解？
• RQ4 非线性项 $f(x,u)$ 在无穷远处的行为在确保存在无界临界值序列中起何种作用？

主要发现

• 在假设 $(\mathbb{V})$、$(\mathbb{H}_1)$--$(\mathbb{H}_4)$ 下，系统存在无穷多组非平凡解，包括 $V(x)$ 的强制性与 $f$ 的特定增长条件。
• 能量泛函在所有 $c > 0$ 水平满足 Cerami 条件，这对应用山形定理至关重要。
• 泛函在无限维子空间 $Z_m$ 上有下界，并且在球面 $\partial B_\rho \cap Z_m$ 上取得正的下确界，其中 $\rho > 0$。
• 对于任一有限维子空间 $\widetilde{E} \subset E$，当 $\|u\| \to \infty$ 时，泛函 $J(u) \to -\infty$，从而保证山形结构的存在。
• $H^\alpha(\mathbb{R}^3)$ 到 $L^r(\mathbb{R}^3)$ 的嵌入在 $2 \leq r < 2_\alpha^*$ 下是紧的，这对证明至关重要。
• 结果在 $\alpha > \frac{3}{4}$ 时成立，确保临界指数 $2_\alpha^* = \frac{6}{3-2\alpha}$ 定义良好且大于 4。