[论文解读] Existence of limiting distribution for affine processes

Peng Jin, Jonas Kremer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文建立了在状态空间 $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 上保守仿射过程存在极限分布的充分条件，统一并推广了关于 OU 型过程与 CBI 过程的先前结果。通过结合常微分方程的稳定性理论与广义 Riccati 方程的分析，作者证明了该过程依分布收敛到一个由生成元函数 $F(\psi(s,u))$ 的积分的指数所表征的唯一平稳分布。通过 Lévy 连续性定理与半流性质，极限分布被证明是唯一的平稳分布。

ABSTRACT

In this paper, sufficient conditions are given for the existence of limiting distribution of a conservative affine process on the canonical state space $\mathbb{R}_{\geqslant0}^{m} imes\mathbb{R}^{n}$, where $m, hinspace n\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}$ with $m+n>0$. Our main theorem extends and unifies some known results for OU-type processes on $\mathbb{R}^{n}$ and one-dimensional CBI processes (with state space $\mathbb{R}_{\geqslant0}$). To prove our result, we combine analytical and probabilistic techniques; in particular, the stability theory for ODEs plays an important role.

研究动机与目标

• 统一并推广关于 $\mathbb{R}^n$ 上 OU 型过程与 $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 上 CBI 过程的极限分布的现有结果。
• 为 $\mathbb{R}_{\geq 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 上的一般保守仿射过程（$m+n > 0$）建立极限分布存在的充分条件。
• 通过特征函数识别极限分布，并证明其为唯一的平稳分布。
• 将已知结果扩展至此前未解决的情形，特别是当 $m \geq 2$ 或 $m \geq 1, n \geq 1$ 时。

提出的方法

• 利用控制仿射过程特征函数的广义 Riccati 方程，特别分析 $\phi(t,u)$ 与 $\psi(t,u)$。
• 应用常微分方程的稳定性理论，证明在给定条件下，当 $t \to \infty$ 时，$\psi(t,u)$ 以指数速度收敛于零。
• 在定义域的紧子集上使用一致收敛性论证，以确保极限特征函数的连续性。
• 利用 $\psi(t,u)$ 的半流性质，将特征函数的时间演化与 $F(\psi(s,u))$ 的积分联系起来。
• 应用 Lévy 连续性定理，建立 $X_t$ 弱收敛于极限分布 $\pi$，其特征函数为 $\exp\left\{\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds\right\}$。
• 通过反证法证明平稳分布的唯一性，利用 $\psi(t,u)$ 与 $\phi(t,u)$ 收敛至其无穷时间极限的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}_{\geq 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 上的保守仿射过程在 $t \to \infty$ 时，依什么条件会依分布收敛到极限分布？
• RQ2 极限分布能否通过生成元函数 $F$ 的形式，显式地以其特征函数表征？
• RQ3 对于此类仿射过程，极限分布是否为唯一的平稳分布？
• RQ4 当 $m \geq 2$ 或 $m \geq 1, n \geq 1$ 时，结果如何扩展，这些情形此前尚未解决？
• RQ5 $\psi(t,u)$ 的指数衰减在确保收敛性与平稳性方面起什么作用？

主要发现

• 极限分布 $\pi$ 存在，其特征函数为 $\int_D e^{\langle u,x \rangle} \pi(dx) = \exp\left\{\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds\right\}$。
• 当 $t \to \infty$ 时，过程 $X_t$ 依分布收敛于 $\pi$，且由于 $\psi(t,u)$ 的指数衰减，收敛速度也呈指数级。
• 极限分布 $\pi$ 是仿射过程 $X_t$ 的唯一平稳分布。
• $\psi(t,u)$ 收敛于零，且 $\phi(t,u)$ 收敛于 $\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds$，其收敛性在定义域的紧子集上一致，确保了极限特征函数的连续性。
• 证明依赖于控制 $\psi(t,u)$ 的常微分方程系统的稳定性，这保证了收敛所必需的衰减。
• 该结果统一并推广了关于 OU 型过程与一维 CBI 过程的先前发现，将其扩展至包含正分量与实分量的高维状态空间。