[论文解读] Existence of Minimizers for Fractional Variational Problems Containing Caputo Derivatives

Loïc Bourdin, Tatiana Odzijewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用 19

一句话总结

本文证明了涉及黎曼-刘维尔积分、经典导数和卡波托分数阶导数的分数阶变分问题中极小化元的存在性。在正则性、凸性和强制性条件下，证明了极小化序列在索博列夫空间中弱收敛，从而通过变分法中的直接法确保极小化元的存在。

ABSTRACT

We study dynamic minimization problems of the calculus of variations with Lagrangian functionals containing Riemann-Liouville fractional integrals, classical and Caputo fractional derivatives. Under assumptions of regularity, coercivity and convexity, we prove existence of solutions.

研究动机与目标

• 建立包含卡波托导数、黎曼-刘维尔积分和经典导数的分数阶变分问题中极小化元存在的理论。
• 将经典变分法的存在性理论扩展至分数阶微分算子。
• 提供充分条件——特别是凸性、正则性和强制性——以确保在适当函数空间中极小化元的存在。
• 弥合分数阶变分计算中的一个关键空白，尽管在必要最优性条件方面已有大量研究，但存在性定理却极为稀少。

提出的方法

• 在索博列夫空间 $\textrm{W}^{1,p}_{a} = \{u \in \textrm{W}^{1,p} : u(a) = u_0\}$ 中表述变分问题，以确保边界条件得到满足。
• 通过证明极小化序列在 $\textrm{W}^{1,p}$ 中有界且弱相对紧，应用变分法中的直接法。
• 利用紧嵌入 $\textrm{W}^{1,p} \lhook\joinrel\twoheadrightarrow \mathscr{C}$ 确保弱收敛蕴含一致收敛。
• 通过已知的算子范数估计，建立黎曼-刘维尔和卡波托分数阶算子在 $\textrm{L}^p$ 中的有界性。
• 基于 $\|\dot{u}\|_{\textrm{L}^p}$ 推导 $\|u\|_{\textrm{L}^\infty}$、$\|I^\alpha_- [u]\|_{\textrm{L}^p}$ 和 $\|{{}_{c}}D^\alpha_- [u]\|_{\textrm{L}^p}$ 的先验估计，以控制增长。
• 应用赫尔德不等式和条件 $d_{1,k} + d_{2,k} + d_{3,k} + d_{4,k} < p$，证明泛函 $\mathcal{L}$ 的强制性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，含卡波托导数的分数阶变分问题存在极小化元？
• RQ2 如何为包含经典导数、黎曼-刘维尔积分和卡波托分数阶导数的泛函建立强制性？
• RQ3 变分法中的直接法能否推广至含非局部算子的分数阶变分问题？
• RQ4 拉格朗日函数的充分条件是什么，以确保在索博列夫型函数空间中极小化元的存在？
• RQ5 拉格朗日函数的正则性和增长性质如何影响分数阶变分计算中极小化元的存在性？

主要发现

• 若拉格朗日函数满足 $L(x_1,x_2,x_3,x_4,t) \geq c_0\|x_3\|^p + \sum_{k=1}^N c_k \|x_1\|^{d_{1,k}}\|x_2\|^{d_{2,k}}\|x_3\|^{d_{3,k}}\|x_4\|^{d_{4,k}}$，其中 $c_0 > 0$ 且 $d_{1,k} + d_{2,k} + d_{3,k} + d_{4,k} < p$，则泛函 $\mathcal{L}$ 在 $\textrm{W}^{1,p}_{a}$ 上是强制的。
• 由于紧嵌入 $\textrm{W}^{1,p} \lhook\joinrel\twoheadrightarrow \mathscr{C}$，$\textrm{W}^{1,p}_{a}$ 中极小化序列的弱收敛性得以保证。
• $\|\dot{u}\|_{\textrm{L}^p} \to \infty$ 当且仅当 $\|u\|_{\textrm{W}^{1,p}} \to \infty$，这将导数的增长与完整的索博列夫范数联系起来。
• 通过直接法确立了极小化元的存在性：有界极小化序列具有弱收敛子列，且下半连续性确保极限即为极小化元。
• 对于 $p=2$，例题 $\mathcal{L}(u) = \int_a^b \|u\|^2 + \|I^\alpha_- [u]\|^2 + \|\dot{u}\|^2 + \|{{}_{c}}D^\alpha_- [u]\|^2 \, dt$ 且 $u(a) = u_0$ 由于凸性和强制性而存在极小化元。
• 结果对 $p \in (1, \infty]$ 成立，证明依赖于分数阶积分与导数算子在 $\textrm{L}^p$ 中的有界性。