[论文解读] Existence of minimizing Willmore surfaces of prescribed conformal class

Martin Schmidt|ArXiv.org|Mar 18, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文在紧致黎曼曲面上为给定共形类，在三维与四维欧氏空间中建立了极小化威爾莫尔曲面的存在性。通过利用四元数函数理论、狄拉克算子核以及谱论，证明了威爾莫尔泛函在共形浸入空间上达到最小值，即使在固定全纯结构下也成立，极小化器可能具有分支点或为有限重分支覆盖。

ABSTRACT

We consider the class of all conformal mappings from a compact Riemann surface into the threedimensional or fourdimensional Euclidean space. A sequence in this class with bounded Willmore functional is shown to have a sequence of conformal transformations of the target space, such that a subsequence of the transformed sequence converges. This implies that there exists a smooth conformal mapping, which minimizes the Willmore functional in this class. For this purpose we extend the quaternionic function theory of Pedit and Pinkall to square integrable Hopf fields. In particular, we proof the Pluecker formula for such Hopf fields.

研究动机与目标

• 在紧致黎曼曲面到 R^3 和 R^4 的共形浸入空间中，建立威爾莫尔泛函极小化器的存在性。
• 将四元数魏尔斯特拉斯表示扩展至包含平方可积霍普夫场与全纯四元数线丛的情形。
• 证明威爾莫尔泛函在具有固定底层全纯复线丛的共形浸入空间上达到最小值。
• 分析霍普夫场的弱极限，并表明极限结构仍为全纯四元数线丛，可能带有奇点。
• 将威爾莫尔极小化器的存在性结果推广至亏格大于一的情形，扩展了西蒙以及包尔-库沃特的前期工作。

提出的方法

• 利用四元数魏尔斯特拉斯表示，将 R^4 中的共形浸入描述为具有平方可积霍普夫场的全纯四元数线丛的截面。
• 应用带势能的狄拉克算子谱论，分析算子 $\begin{smallmatrix} \bar{\partial} & -\bar{U} \\ U & \partial \end{smallmatrix}$ 的核，该算子参数化了浸入。
• 为平方可积霍普夫场建立巴克隆德变换，将无穷小魏尔斯特拉斯表示与四元数函数理论中的科达拉嵌入联系起来。
• 将 Cech 上同调的层与全纯四元数线丛关联，应用黎曼–罗赫定理与塞尔对偶性。
• 通过霍普夫场有界序列的紧致性论证，证明其收敛至定义全纯结构的极限，可能带有奇点。
• 在狄拉克算子核上应用加权 L^p 与 Sobolev 空间估计，证明局部正则性及局部极小化器的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 威爾莫尔泛函是否在紧致黎曼曲面到 R^3 和 R^4 的共形浸入空间上，对给定共形类达到最小值？
• RQ2 能否在所有亏格下建立极小化器的存在性，从而推广此前仅限于亏格一的结果？
• RQ3 通过霍普夫场与势能定义的四元数线丛的全纯结构，在弱收敛下如何表现？
• RQ4 黎曼–罗赫定理与普吕克公式在具有平方可积霍普夫场的全纯四元数线丛背景下起何作用？
• RQ5 极小化器能否被实现为浸入？还是必然涉及分支覆盖或奇点？

主要发现

• 威爾莫尔泛函在紧致黎曼曲面到 R^3 和 R^4 的所有共形浸入空间上达到最小值。
• 对于任意固定的全纯复线丛，威爾莫尔泛函在具有该底层结构的共形浸入空间上的限制也达到最小值。
• 任意有界平方可积霍普夫场序列均存在子列收敛至极限，该极限定义了一个全纯四元数线丛，可能带有奇点。
• 带势能的狄拉克算子的核属于所有 m 与 p < ∞ 的局部 W^{m,p} 空间，确保极小化器具有充分正则性。
• 通过紧致性与谱分析，建立了极小化器的存在性，将西蒙与包尔-库沃特的早期结果推广至所有亏格。
• 极小化器可能具有分支点，不一定是浸入，但可表示为浸入与有限重分支覆盖的复合。