[论文解读] Existence of noncontractible periodic orbits of Hamiltonian system separating two Lagrangian tori on $T^*\T^n$ with application to non convex Hamiltonian systems

Jinxin Xue|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文在动量空间满足锥条件的条件下，证明了在 $T^*\mathbb{T}^n$ 上的哈密顿系统中，存在分离两个拉格朗日子流形的非同伦平凡1-周期轨道。通过在正张成锥内使用具有紧支集的修正哈密顿量，并在同调类上施加对偶锥条件，作者证明了在能量层面上此类轨道的稠密存在性，解决了阿诺德关于洛伦兹型系统的问题，并证实了波尔特罗维奇关于支持在周期轨道上的不变测度的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we show the existence of non contractible periodic orbits in Hamiltonian systems defined on $T^*\T^n$ separating two Lagrangian tori under certain cone assumption. Our result answers a question of Polterovich in \cite{P} in a sharp way. As an application, we find periodic orbits of almost all the homotopy types on a dense set of energy level in Lorentzian type mechanical Hamiltonian systems defined on $T^*\T^2$. This solves a problem of Arnold in \cite{A}.

研究动机与目标

• 为解决波尔特罗维奇提出的问题：在辛系统中，是否存在支持具有非平凡旋转向量的不变测度的周期轨道。
• 在动量空间满足锥条件的条件下，建立 $T^*\mathbb{T}^n$ 上哈密顿系统中分离两个拉格朗日子流形的非同伦平凡周期轨道的存在性。
• 证明在 $T^*\mathbb{T}^2$ 上洛伦兹型力学系统中，几乎所有同伦类的能量层面上周期轨道的稠密存在性，从而解决阿诺德提出的问题。
• 通过引入排除此类病态情况的几何锥条件，克服了紧支集哈密顿量无法产生非平凡周期轨道的反例。

提出的方法

• 在动量空间中定义一个哈密顿量 $F(p,q)$，其紧支集位于 $\mathbb{R}^n$ 中的正张成锥 $\mathcal{C} \subset \mathbb{R}^n$ 内，并在同调空间中引入对偶锥 $\mathcal{C}^*$。
• 利用光滑截断函数 $W_1(p)$ 和饱和函数 $\sigma$ 构造 $F$，以在锥内局部化哈密顿量，同时确保对所有 $p^* \in \mathrm{int}(\mathcal{C})$ 有 $F(p^*,q) \geq c > 0$。
• 要求同调类 $\alpha \in H_1(\mathbb{T}^n, \mathbb{Z}) \setminus \{0\}$ 属于 $\mathcal{C}^*$，且满足 $\langle p^*, \alpha \rangle \leq c$。
• 利用锥结构排除如 $F(p,q) = \langle \alpha, p \rangle / \langle \alpha, p^* \rangle$ 这类反例（其中 $\alpha$ 为无理数），这些反例原本不会产生非平凡周期轨道。
• 通过大参数 $R$ 的扰动论证，证明当 $\|p\|/R \simeq 1$ 时，周期轨道不会由截断函数 $W_1$ 产生，方法是通过有界速度 $\dot{q}$ 并与最小同调位移矛盾。
• 通过变化参数 $a,b$ 并利用锥结构确保 $\alpha \in \mathcal{C}^*$，证明在能量层 $\{H = s\}$ 上周期轨道的稠密存在性，其中 $s$ 属于 $\left(0, \frac{(p^*_1)^2}{2} - \frac{(p^*_2)^2}{2} - M\right)$ 的一个稠密集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几何约束下，$T^*\mathbb{T}^n$ 上的哈密顿系统中，分离两个拉格朗日子流形的非同伦平凡周期轨道是否可能存在？
• RQ2 动量空间上的锥条件是否能防止紧支集哈密顿量无法产生非平凡周期轨道的反例？
• RQ3 在 $T^*\mathbb{T}^2$ 上的非凸力学系统中，是否可证明非平凡周期轨道在能量层的稠密集上存在？
• RQ4 是否可确保周期轨道并非哈密顿量构造中截断函数的产物？
• RQ5 对偶锥条件 $\alpha \in \mathcal{C}^*$ 且 $\langle p^*, \alpha \rangle \leq c$ 是否能保证在同调类 $\alpha$ 中存在周期轨道？

主要发现

• 对于任意 $\mathscr{C}^\infty$ 哈密顿量 $H$，其紧支集位于 $\mathcal{C} \times \mathbb{T}^n \times \mathbb{T}$ 内，且满足 $H(p^*,q,t) \geq c > 0$，以及对任意 $\alpha \in H_1(\mathbb{T}^n, \mathbb{Z}) \setminus \{0\}$ 满足 $\langle p^*, \alpha \rangle \leq c$ 且 $\alpha \in \mathcal{C}^*$，存在一个在同调类 $\alpha$ 中的1-周期轨道。
• 该构造确保当 $\|p\|/R \simeq 1$ 时，周期轨道不会由截断函数 $W_1$ 产生，因为此时速度 $\dot{q}$ 太小，无法支持非平凡同调。
• 对于 $T^*\mathbb{T}^2$ 上的洛伦兹型哈密顿量，存在一个稠密集 $S_\alpha \subset \left(0, \frac{(p^*_1)^2}{2} - \frac{(p^*_2)^2}{2} - M\right)$，使得每个 $s \in S_\alpha$ 都支持一个同调类为 $\alpha$ 的周期轨道。
• 该结果对所有满足 $H(p^*,q) \geq b > a > \max_q V(q)$ 的 $p^* \in \mathcal{C}$ 成立，通过变化 $a,b$ 可实现整个正能级范围内的稠密存在性。
• 通过证明当 $\|p\|/R \simeq 1$ 时，$\dot{q}_1 - \dot{q}_2$ 或 $\dot{q}_1 + \dot{q}_2$ 必须很小，从而与 $\alpha \in \mathcal{C}^* \cap H_1(\mathbb{T}^2, \mathbb{Z})$ 时 $|\alpha_1 \pm \alpha_2|$ 的下界矛盾，从而排除了该区域的周期轨道。
• 关键几何条件是 $\mathcal{C}$ 为正张成锥（不包含过原点的直线），这排除了反例 $F(p,q) = \langle \alpha, p \rangle / \langle \alpha, p^* \rangle$（其中 $\alpha$ 为无理数）的存在。