[论文解读] Existence of Nontrivial Solutions for p-Laplacian Equations in {R}^{N}

Chungen Lıu, Youquan Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过在锥上使用上同调链接方法，建立了在 R^N 中具有变号势和次临界 p-超线性非线性项的 p-Laplacian 方程非平凡弱解的存在性。关键结果证明，即使在不假设周期性的情况下，该类解对所有实数参数 λ 均存在。

ABSTRACT

In this paper, we consider a p-Laplacian equation in {R}^{N}with sign-changing potential and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using the cohomological linking method for cones developed by Degiovanni and Lancelotti in 2007, an existence result is obtained. We also give a result on the existence of periodic solutions for one-dimensional $p$-Laplacian equations which can be proved by the same method.

研究动机与目标

• 建立在 R^N 中具有变号势的 p-Laplacian 方程非平凡弱解的存在性。
• 将现有结果拓展至非定号势和周期性设定之外的情形。
• 在弱于 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的生长与强制性条件下证明解的存在性。
• 证明上同调链接方法适用于具有变号势的 p-Laplacian 问题。
• 通过相同方法，为一维周期解提供平行的存在性结果。

提出的方法

• 利用 Degiovanni 和 Lancelotti（2007）提出的锥上上同调链接方法，寻找能量泛函的临界点。
• 在 Sobolev 空间 W^{1,p}(R^N) 上定义能量泛函 Φ(u) = (1/p)∫|∇u|^p + |u|^p dx − (λ/p)∫V(x)|u|^p dx − ∫F(x,u) dx。
• 对势能 U(x) = b(x) − λV(x) 和非线性项 f(x,t) 施加条件 (B)、(V) 以及 (f1)–(f4)，包括 p-超线性增长和广义凸性条件 (f4)。
• 通过反证法结合能量估计，证明了 Palais-Smale 序列的有界性，从而验证 Cerami 条件。
• 通过与线性化算子特征值相关的谱投影定义的锥 C_− 和 C_+ 应用链接定理。
• 通过在适当 Banach 空间 W^{1,p}(S^1) 上定义并利用周期特征值结构，将该方法适配至一维周期情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当势能变号且不假设周期性时，是否能保证 R^N 中 p-Laplacian 方程存在非平凡解？
• RQ2 在具有变号势和 p-超线性非线性项的 p-Laplacian 问题中，锥上的上同调链接方法是否依然有效？
• RQ3 是否可以在不使用经典 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的前提下，仍确保解的存在性？
• RQ4 该存在性结果是否对所有实数参数 λ（包括 λ = 0）均成立？
• RQ5 该方法是否可应用于一维周期情形，以推导出周期解的存在性？

主要发现

• 在条件 (B)、(V) 和 (f1)–(f4) 下，问题 (1.1) 对每个 λ ∈ R 均至少存在一个非平凡弱解。
• inf b(x) > −∞ 是充分条件；通过适当地平移 b 和 V，可放宽对 b(x) ≥ b₀ > 0 的要求。
• 广义凸性条件 (f4) 取代了 Ambrosetti-Rabinowitz 条件 (1.3)，从而允许更弱的生长假设。
• 已验证能量泛函满足 Cerami 条件，确保有界 Palais-Smale 序列的收敛性。
• 该方法可原样应用于一维周期 p-Laplacian 方程 (5.22)，对所有 λ ∈ R 均得到非平凡解。
• 即使当 V⁺(x) ≡ 0 或 λ < λ₁ 时，结果依然成立，只需将锥结构调整为 C₋ = {0} 和 C₊ = W^{1,p}(S¹)。