[论文解读] Existence of periodic orbits near heteroclinic connections

Giorgio Fusco, Giovanni F. Gronchi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过对称变分方法，在哈密顿系统和椭圆PDE中建立了异宿连接附近周期轨线的存在性。通过在反射对称性下最小化作用泛函，证明了在有限维与无限维情形下，$T$-周期解在$T \to \infty$时局部收敛于连接势能$W$两个不同全局极小值的异宿轨线。

ABSTRACT

We consider a potential $W:R^m ightarrow R$ with two different global minima $a_-, a_+$ and, under a symmetry assumption, we use a variational approach to show that the Hamiltonian system \begin{equation} \ddot{u}=W_u(u), \hskip 2cm (1) \end{equation} has a family of $T$-periodic solutions $u^T$ which, along a sequence $T_j ightarrow+\infty$, converges locally to a heteroclinic solution that connects $a_-$ to $a_+$. We then focus on the elliptic system \begin{equation} Δu=W_u(u),\;\; u:R^2 ightarrow R^m, \hskip 2cm (2) \end{equation} that we interpret as an infinite dimensional analogous of (1), where $x$ plays the role of time and $W$ is replaced by the action functional \[J_R(u)=\int_R\Bigl(\frac{1}{2}\vert u_y\vert^2+W(u)\Bigr)dy.\] We assume that $J_R$ has two different global minimizers $\bar{u}_-, \bar{u}_+:R ightarrow R^m$ in the set of maps that connect $a_-$ to $a_+$. We work in a symmetric context and prove, via a minimization procedure, that (2) has a family of solutions $u^L:R^2 ightarrow R^m$, which is $L$-periodic in $x$, converges to $a_\pm$ as $y ightarrow\pm\infty$ and, along a sequence $L_j ightarrow+\infty$, converges locally to a heteroclinic solution that connects $\bar{u}_-$ to $\bar{u}_+$.

研究动机与目标

• 在势能$W$具有两个不同全局极小值$a_-$和$a_+$且满足对称性假设的哈密顿系统中，建立周期解的存在性。
• 将存在性结果推广至无限维情形，其中势能$W$由定义在函数$u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^m$上的作用泛函$J_{\mathbb{R}}$取代。
• 证明这些周期解在周期$L \to \infty$时，局部收敛于连接极小值$\bar{u}_-$与$\bar{u}_+$的异宿解。
• 通过使用对称性并在对称函数类中进行最小化，克服无限维情形下的挑战，如边界非紧性以及有限维条件(1.3)在无限维情形下无直接类比的问题。

提出的方法

• 在$\mathbb{R}^m$上引入一个反射对称$\gamma$，使得$W(\gamma u) = W(u)$且$\gamma a_- = a_+$，并将搜索限制在满足$u(-t) = \gamma u(t)$的$\gamma$-等变映射上。
• 在对称类中，对$T$-周期的$H^1$-映射最小化作用泛函$J_{(0,T)}(u) = \int_0^T \left( \frac{1}{2}|\dot{u}|^2 + W(u) \right) dt$，以构造周期解。
• 在无限维情形下，对连接$\bar{u}_-$与$\bar{u}_+$的$L$-周期映射$u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^m$，在$y \to \pm\infty$时，最小化作用泛函$J_{\mathbb{R}}(u) = \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{1}{2}|u_y|^2 + W(u) \right) dy$。
• 应用紧致性与收敛性论证，证明在序列$T_j \to \infty$或$L_j \to \infty$下，周期解在局部收敛于连接$a_-$到$a_+$（有限维情形）或$\bar{u}_-$到$\bar{u}_+$（无限维情形）的异宿解。
• 利用能量估计与扰动$v_j = u_j - \bar{u}$的衰减界，结合$\bar{u}'$的指数衰减性与$W_{uuu}$的有界性，推导出矛盾论证，表明极小化序列不可能在异宿轮廓之外集中。
• 采用基于能量下界的矛盾论证：若极小化序列不收敛于异宿解，则能量差$J_{\mathbb{R}}(u_j) - c_0$有正的下界，与$J_{\mathbb{R}}(u_j) \to c_0$矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哈密顿系统$\ddot{u} = W_u(u)$中，能否构造出周期解，使其在周期$T \to \infty$时收敛于连接两个不同全局极小值$a_-$与$a_+$的异宿轨线？
• RQ2 在无限维情形下，当$W$被作用泛函$J_{\mathbb{R}}(u) = \int_{\mathbb{R}} \left( \frac{1}{2}|u_y|^2 + W(u) \right) dy$取代时，此类周期解的存在性是否仍然成立？
• RQ3 在无限维情形下，如何克服缺乏有限维条件(1.3)的直接类比的问题，以确保周期解的存在性？
• RQ4 反射对称性在稳定周期解并促进其收敛于异宿解的过程中起到何种作用？
• RQ5 能否导出能量差$J_{\mathbb{R}}(u) - c_0$的统一下界，以排除极小化序列在异宿轮廓之外集中？

主要发现

• 对于有限维哈密顿系统$\ddot{u} = W_u(u)$，在反射对称性与$a_\pm$非退化条件下，存在一族$T$-周期解$u^T$，当$T_j \to \infty$时，其在局部收敛于连接$a_-$到$a_+$的异宿解。
• 在无限维情形下，椭圆系统$\Delta u = W_u(u)$存在一族$L$-周期解$u^L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^m$，当$L_j \to \infty$时，其在局部收敛于连接$\bar{u}_-$到$\bar{u}_+$的异宿解。
• 收敛性在空间上是局部的，且在紧集上一致；周期解关于反射$\gamma$对称，满足$u(-x) = \gamma u(x)$。
• 当$\|u - \bar{u}_\pm(\cdot - r)\| \geq p$时，能量差$J_{\mathbb{R}}(u) - c_0$有下界$\frac{1}{4}p^2$，从而防止极小化序列在异宿轮廓之外集中。
• 通过假设极小化序列不收敛于异宿解，导出矛盾：能量估计表明$J_{\mathbb{R}}(u_j) - c_0 \geq \gamma^2 p^2 / 16 > 0$，与$J_{\mathbb{R}}(u_j) \to c_0$矛盾。
• 该方法通过在对称周期映射类中最小化，避免了对边界条件(1.3)的依赖，从而绕过了无限维情形下的非紧性问题。