[论文解读] Existence of Small Separators Depends on Geometry for Geometric Inhomogeneous Random Graphs

Johannes Lengler, Lazar Todorović|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明，几何异质随机图（GIRGs）中线性大小分隔符的存在性从根本上依赖于底层几何结构：尽管欧几里得GIRGs表现出次线性分隔符，但具有最小分量距离（MCD）几何的图则不具备。作者通过新颖地应用双边Azuma不等式来处理边依赖性，证明MCD基GIRGs具有常数聚类系数，因此缺乏小分隔符，这与欧几里得对应图形成鲜明对比。

ABSTRACT

We show that Geometric Inhomogeneous Random Graphs (GIRGs) with power law weights may either have or not have separators of linear size, depending on the underlying geometry. While it was known that for Euclidean geometry it is possible to split the giant component into two linear size components by removing at most n^{1-\eps} edges, we show that this is impossible if the geometry is given by the minimum component distance.

研究动机与目标

• 确定具有幂律权重的几何异质随机图（GIRGs）是否依赖于底层几何结构而存在小分隔符。
• 解决关于非欧几里得几何（特别是最小分量距离，MCD）下GIRGs中是否存在次线性分隔符的开放问题。
• 克服GIRGs中强边依赖性的挑战，这些依赖性使得标准技术（如独立边分批处理）无法应用。
• 证明基于MCD的GIRGs具有常数聚类系数，从而表明其缺乏小分隔符，与欧几里得GIRGs形成对比。

提出的方法

• 作者使用具有有界差值的双边Azuma不等式，以在存在依赖边的情况下控制集中性，这是处理GIRG依赖性的关键创新。
• 他们以高概率事件为条件，其中顶点位置和权重表现良好，确保局部邻域内邻居的均匀分布。
• 通过独立采样顶点位置和权重构建随机图模型，边概率取决于权重和几何距离。
• 通过条件概率界限分析聚类系数，表明低权重顶点的邻居在空间上可能接近，因而彼此相连。
• 该证明利用LeCam定理，在条件事件下建立加权度和邻居数之和的集中性。
• 对聚类系数函数应用基于鞅的集中性论证，通过精心定义的误差事件排除可能破坏集中性的高阶顶点。

实验结果

研究问题

• RQ1 GIRGs中是否存在小分隔符是否依赖于几何空间的选择，特别是欧几里得与最小分量距离（MCD）几何之间？
• RQ2 能否将用于证明次线性分隔符的标准技术（如独立边分批）适配于具有依赖边的GIRGs？
• RQ3 基于MCD的GIRGs中聚类系数的行为如何，其与小分隔符存在性的关系是什么？
• RQ4 基于MCD的GIRGs的巨分量在次线性边删除下是否稳定，或是否存在固有的结构障碍导致其无法被分割？
• RQ5 GIRGs中的边依赖性如何影响经典集中不等式（如Azuma不等式）的适用性？

主要发现

• 对于最小分量距离（MCD）几何，GIRGs不具有次线性分隔符；通过删除o(n)条边，无法将巨分量划分为两个线性大小的部分。
• 基于MCD的GIRGs中，聚类系数以高概率为Ω(1)，表明存在强局部聚类，从而阻止小分隔符的出现。
• 作者证明，低权重顶点的期望聚类系数为Ω(1)，并通过Azuma不等式集中性确保图中整体聚类系数以高概率为Ω(1)。
• 相比之下，欧几里得GIRGs确实允许次线性分隔符，表明几何结构从根本上改变了图的分割特性。
• 该证明通过使用精心定义的误差事件的双边Azuma不等式，克服了GIRGs中的边依赖性，使得在存在依赖关系的情况下仍能获得集中性界限。
• 该结果确立了明确的二分性：当且仅当几何结构为欧几里得型（或类似）时，GIRGs中才存在次线性分隔符，而MCD几何下则不存在。