[论文解读] Existence of solution for a class of fractional Hamiltonian systems

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 28

一句话总结

本文通过变分法证明了在整条实直线上的一类分数阶哈密顿系统至少存在一个非平凡弱解。通过证明一个新的紧嵌入结果并验证帕莱斯-斯梅尔（Palais-Smale）条件，该研究在保证强制性和亚临界增长的非线性项条件下应用山路定理。

ABSTRACT

In this work we want to prove the existence of solution for a class of fractional Hamiltonian systems given by {eqnarray*}_{t}D_{\infty}^α(_{-\infty}D_{t}^αu(t)) + L(t)u(t) = & abla W(t,u(t)) u\in H^α(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{N}) {eqnarray*}

研究动机与目标

• 建立定义在整个实直线上的某类分数阶哈密顿系统存在非平凡弱解。
• 通过构建合适的分数阶索博列夫空间框架，解决无界区域上索博列夫嵌入缺乏紧致性的问题。
• 基于先前工作的启发，通过一个新紧嵌入结果，验证分数阶设定下的帕莱斯-斯梅尔条件。
• 在势能的一般增长和强制性条件下，将山路定理应用于定义在分数阶索博列夫空间上的泛函。
• 将变分方法从经典二阶系统推广至具有对称左右导数的分数阶系统，且非周期、非自治的非线性项与强制性线性项共存。

提出的方法

• 将分数阶索博列夫空间 $ X^\beta = I_{-\frown}^{\beta}(\mathbb{R}) $ 定义为在范数 $ \|u\|_{X^\alpha}^2 = \|u\|_{L^2}^2 + \|_\infty D_t^\alpha u\|_{L^2}^2 $ 下，光滑且紧支集函数的闭包。
• 引入能量泛函 $ I(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{X^\alpha}^2 - \int_\mathbb{R} W(t,u(t))\,dt $，其临界点对应于该系统的弱解。
• 通过帕莱斯-斯梅尔序列的有界性及通过紧嵌入实现的强收敛性，证明泛函 $ I $ 满足 (PS) 条件。
• 建立山路几何结构：$ I(0) = 0 $，在范数为 $ \rho > 0 $ 的球面上 $ I(u) > 0 $，且存在某 $ e \in X^\alpha $ 满足 $ \|e\|_{X^\alpha} > \rho $ 使得 $ I(e) < 0 $。
• 利用引理 2.2 中的紧嵌入结果，证明 $ u_k \to u $ 在 $ L^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n) $ 中成立，从而保证非线性项的收敛性。
• 应用山路定理，得出存在一个临界值 $ c > 0 $，从而得出一个非平凡弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R} $ 上，对于具有非周期、非自治系数的分数阶哈密顿系统，其存在非平凡弱解的条件是什么？
• RQ2 尽管在无界区域上索博列夫嵌入缺乏紧致性，是否仍可将山路定理应用于分数阶哈密顿系统？
• RQ3 在分数阶索博列夫空间背景下，如何建立紧嵌入结果以确保 (PS) 条件成立？
• RQ4 势能 $ W $ 和矩阵 $ L(t) $ 需要满足何种增长与强制性条件，才能保证非平凡解的存在？
• RQ5 是否可以将变分方法从经典二阶系统推广至具有对称左右导数的分数阶系统？

主要发现

• 在假设 (L)、(W₁) 和 (W₂) 下，与分数阶哈密顿系统相关的泛函 $ I $ 满足 (PS) 条件，从而保证了帕莱斯-斯梅尔序列的序列紧致性。
• 证明了一个新的紧嵌入结果：若 $ u_k \rightharpoonup u $ 在 $ X^\alpha $ 中成立，则 $ u_k \to u $ 在 $ L^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n) $ 中成立，这对处理非线性项至关重要。
• 山路几何结构已验证：存在 $ \rho > 0 $ 和 $ \beta > 0 $，使得当 $ \|u\|_{X^\alpha} = \rho $ 时，有 $ I(u) \geq \beta > 0 $，且存在某 $ e \in X^\alpha $ 满足 $ \|e\|_{X^\alpha} > \rho $ 使得 $ I(e) < 0 $。
• 通过山路定理，证明了非平凡弱解的存在性，得到一个临界点 $ u \in X^\alpha $，满足 $ I(u) = c > 0 $ 且 $ I'(u) = 0 $。
• 该结果在 $ \alpha \in (1/2, 1) $ 条件下成立，其中 $ L(t) $ 为正定且强制，$ W $ 满足 $ \mu $-超二次增长且在零附近较小。
• 解是非平凡的，因为山路水平 $ c $ 有下界 $ \beta > 0 $，且 $ I(0) = 0 $。