[论文解读] Existence of solutions for a fractional semilinear parabolic equation with singular initial data

Kotaro Hisa, Kazuhiro Ishige|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过基于容量的估计和热核分析，建立了具有奇异初值的分数阶半线性抛物方程解存在的必要与充分条件。研究给出了当初始数据以 $|x|^{-A}$ 方式衰减且 $λ \to 0^+$ 时，解的最优寿命估计，改进了分数阶拉普拉斯算子的经典Fujita型结果，并将可解性理论推广至奇异测度和临界衰减速率的函数。

ABSTRACT

In this paper we obtain necessary conditions and sufficient conditions on the initial data for the solvability of the Cauchy problem $$ \partial_t u+(-Δ)^{\fracθ{2}}u=u^p,\quad x\in{\bf R}^N,\,\,t>0, \qquad u(0)=μ\ge 0\quad\mbox{in}\quad{\bf R}^N, $$ where $N\ge 1$, $01$ and $μ$ is a Radon measure or a measurable function in ${\bf R}^N$. Our conditions lead optimal estimates of the life span of the solution with $μ$ behaving like $λ|x|^{-A}$ ($A>0$) at the space infinity, as $λ o +0$.

研究动机与目标

• 确定分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\theta/2}$（$p>1$）的柯西问题解存在的初始数据的必要与充分条件。
• 通过分析在无穷远处具有奇异行为的初始数据，将经典的Fujita型理论推广至分数阶扩散情形。
• 当初始数据 $\mu = \lambda \phi$ 且 $\phi(x) \sim |x|^{-A}$，$λ \to 0^+$ 时，提供解寿命的最优估计。
• 建立非负解初始迹的存在性与唯一性，将局部情形（$θ = 2$）的结果推广至分数阶情形。

提出的方法

• 利用线性分数阶抛物方程的基本解 $G(x,t)$ 通过积分形式定义弱解。
• 应用势论中的容量估计（Meyers容量）推导初始数据可解性的必要条件。
• 通过适应分数阶扩散标度的球内初始数据的 $L^{r,\infty}$-范数估计，推导充分条件。
• 通过标度假设分析解的行为，特别是针对初始数据 $\mu(x) \sim \lambda |x|^{-A}$ 的情形，结合齐次性与对数修正。
• 利用比较原理与能量型估计，从上下两方面界定解的寿命。
• 通过平衡非线性项 $u^p$ 的增长与初始数据及分数阶扩散速率的衰减，建立精确的寿命估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一个Radon测度或可测函数 $\mu$，分数阶半线性抛物方程 $\partial_t u + (-\Delta)^{\theta/2}u = u^p$ 的非负解存在的必要与充分条件是什么？
• RQ2 当初始数据 $\phi(x) \sim |x|^{-A}$ 在无穷远处成立，且 $λ \to 0^+$ 时，解的寿命 $T(\lambda\phi)$ 如何变化？
• RQ3 经典Fujita型临界指数 $p_* = 1 + 2/N$ 能否推广至分数阶情形 $0 < \theta \leq 2$？$θ$ 在临界衰减速率中起什么作用？
• RQ4 解的寿命对初始数据衰减速率 $A$ 的精确依赖关系是什么，特别是在临界情形 $p = p_\theta$ 与 $A = \theta/(p-1)$ 时？
• RQ5 当 $A = N$ 或 $A = \theta/(p-1)$ 时，初始数据中的对数修正如何影响爆破时间？

主要发现

• 当 $p > p_\theta = 1 + \theta/N$ 时，若初始数据 $\mu$ 满足 $\sup_{x \in \mathbb{R}^N} \int_{B(x,\sigma)} \mu(y)\,dy \leq \gamma \sigma^{N - \frac{2}{p-1}}$（对足够小的 $\sigma > 0$），其中 $γ$ 依赖于 $N$、$p$ 和 $θ$，则柯西问题存在局部时间解。
• 当 $p = p_\theta$ 时，可解性的必要条件为 $\sup_{x \in \mathbb{R}^N} \mu(B(x,\sigma)) \leq \gamma |\log \sigma|^{-N/\theta}$（对足够小的 $\sigma > 0$），推广了经典的对数容量条件。
• 对于初始数据 $\mu(x) = \lambda \phi(x)$ 且 $\phi(x) \sim |x|^{-A}$ 的情形，解的寿命 $T(\lambda\phi)$ 满足：当 $A \neq N$ 时，有 $T(\lambda\phi) \geq C \lambda^{-\left(\frac{1}{p-1} - \frac{1}{\theta} \min\{A,N\}\right)^{-1}}$；当 $A = N$ 时出现对数修正，表明对衰减速率的精确依赖关系。
• 在临界情形 $p = p_\theta$ 且 $A = N$ 时，解的寿命满足 $\log T(\lambda\phi) \leq C \lambda^{-\frac{p-1}{p}}$，表明爆破时间具有双对数标度。
• 当 $1 < p < p_\theta$ 且 $A = N$ 时，解的寿命有上界 $T(\lambda\phi) \leq C_2 \left( \frac{\lambda^{-1}}{\log \lambda^{-1}} \right)^{\left(\frac{1}{p-1} - \frac{N}{\theta}\right)^{-1}}$，表明其爆破速度慢于超临界情形。
• 本文证明了任意非负解的初始迹均为唯一的Radon测度，并对解存在的初始数据给出了完整刻画，即使在奇异情形 $\mu \in L^1_{\text{loc}} \setminus L^\infty$ 下亦成立。