[论文解读] Existence of solutions for compressible fluid models of Korteweg type

Boris Haspot|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

本文建立了非等温Korteweg型可压缩流体模型解的存在性与唯一性，该模型包含毛细作用及依赖温度的系数。通过临界尺度空间与高级函数空间（Besov型），证明了在平衡态附近小初值下的全局解存在性，以及一般初值下的局部解存在性，且通过各向异性设置下的能量估计与拟微分演算实现了解的唯一性与正则性控制。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general non isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985), which can be used as a phase transition model. We distinguish two cases, when the physical coefficients depend only on the density, and the general case. In the first case we can work in critical scaling spaces, and we prove global existence of solution and uniqueness for data close to a stable equilibrium. For general data, existence and uniqueness is stated on a short time interval. In the general case with physical coefficients depending on density and on temperature, additional regularity is required to control the temperature in $L^{\infty}$ norm. We prove global existence of solution close to a stable equilibrium and local in time existence of solution with more general data. Uniqueness is also obtained.

研究动机与目标

• 分析由Dunn和Serrin框架导出的一般非等温毛细流体模型的初边值问题。
• 研究当物理系数仅依赖于密度与同时依赖于密度和温度时，解的存在性与唯一性。
• 在临界正则性空间中，对靠近稳定平衡态的小初值建立全局解存在性，对一般初值建立局部解存在性，并实现适当的正则性控制。
• 在一般情况下，通过附加正则性假设，确保温度的 $ L^\infty $-范数控制。

提出的方法

• 使用包含梯度项 $ \frac{1}{2}\kappa|\nabla\rho|^2 $ 的自由能的扩展热力学，建立Korteweg模型。
• 推导完整系统：质量、动量与能量守恒，包含Korteweg张量、黏性应力与间隙功。
• 采用临界尺度空间与各向异性Besov型函数空间 $ \widetilde{L}^\rho_T(B^{s}_{p}) $，以处理低正则性与尺度不变性。
• 应用拟微分演算与换位子估计，控制方程中非线性项。
• 在函数空间中使用能量估计与不动点论证，证明解的存在性与唯一性。
• 引入修正的能量泛函，并在一般情况下通过附加正则性假设，实现温度的 $ L^\infty $-控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 非等温Korteweg型流体模型的初边值问题在何种条件下存在全局解？
• RQ2 物理系数（黏度、毛细力、热导率）同时依赖于密度与温度时，如何影响解的存在性与正则性？
• RQ3 在临界正则性空间中，能否对靠近稳定平衡态的小初值建立全局解存在性？
• RQ4 在一般情况下，为控制温度的 $ L^\infty $-范数，需要何种额外正则性？
• RQ5 动量与能量方程中的非线性项如何影响各向异性函数空间中系统的适定性？

主要发现

• 当系数仅依赖于密度时，在临界尺度空间中，对靠近稳定平衡态的初值，建立了全局解的存在性与唯一性。
• 在相同情况下，对一般初值，也证明了局部解的存在性与唯一性，且采用相同的函数空间框架。
• 在一般情况下（系数依赖温度），在平衡态附近证明了全局解存在性，但需附加正则性以控制温度的 $ L^\infty $-范数。
• 在一般情况下，对一般初值也获得了局部解存在性，且通过更高正则性确保了解的唯一性与温度的 $ L^\infty $-控制。
• 证明依赖于各向异性Besov空间中的精确估计与拟微分演算，其界依赖于速度与密度梯度的 $ \widetilde{L}^\rho_T(B^{s}_{p}) $-范数。
• 该框架可统一处理具有毛细作用与非等温效应的可压缩流体，将先前结果推广至更一般的物理系数。