[论文解读] Existence of solutions for fractional p-Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities

Wenjing Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^N$ 中建立了具有广义 Choquard 非线性项的分数阶 $p$-Kirchhoff 型方程非平凡弱解的存在性，且无需假设 Ambrosetti-Rabinowitz 条件。通过应用变分法与临界点理论，作者在非线性项满足一般增长条件及退化 Kirchhoff 函数的前提下，证明了对任意 $\lambda > 0$，至少存在一个非平凡解。

ABSTRACT

In this article, we establish the existence of solutions to the fractional $p-$Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities without assuming the Ambrosetti-Rabinowitz condition.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^N$ 中建立一类具有广义 Choquard 型非线性项的分数阶 $p$-Kirchhoff 方程非平凡弱解的存在性。
• 去除变分法中通常假设的 Ambrosetti-Rabinowitz (AR) 条件，该条件在处理此类问题时被广泛采用。
• 在 Kirchhoff 函数 $M$ 和势函数 $V(x)$ 上采用一般假设，包括在零点处可能出现退化的情形。
• 将变分技术的应用范围扩展至包含奇异性和非局部相互作用的更广泛非局部方程类。
• 为在无界区域中研究具有临界或亚临界增长的解提供一个框架，其中通过 Choquard 项 $\mathcal{I}_\mu * F(u)$ 实现。

提出的方法

• 将问题表述为与分数阶 $p$-Kirchhoff 方程相关的能量泛函 $\mathcal{J}_\lambda$ 的临界点问题。
• 利用山路定理与 Ekeland 变分原理来定位泛函的临界点。
• 采用 Nehari 流形方法来刻画泛函的下确界，并控制极小化序列的行为。
• 应用 Simon 不等式来处理分数阶 $p$-Laplacian 的非线性项，并证明 Palais-Smale 序列的强收敛性。
• 通过集中紧性原理与加权 Lebesgue 空间及 Sobolev 空间中的弱收敛性论证，建立紧性。
• 依赖 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式来控制非局部项 $\mathcal{I}_\mu * F(u)$，确保其在相关函数空间中的有界性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的前提下，能否证明具有 Choquard 非线性项的分数阶 $p$-Kirchhoff 方程存在非平凡解？
• RQ2 Kirchhoff 函数 $M$、势函数 $V(x)$ 以及非线性项 $f(u)$ 需满足何种条件，才能确保在 $\mathbb{R}^N$ 中弱解的存在性？
• RQ3 当 $M$ 在零点处退化时，对解的存在性与正则性有何影响？
• RQ4 Riesz 位势 $\mathcal{I}_\mu$ 在非局部项的结构及嵌入紧性中起什么作用？
• RQ5 当非线性项为非齐次且非标准时，变分方法能否被调整以处理无界区域中缺乏紧致嵌入的情形？

主要发现

• 本文在适当假设下，证明了对任意 $\lambda > 0$，具有广义 Choquard 非线性项的分数阶 $p$-Kirchhoff 方程至少存在一个非平凡弱解。
• 即使 Kirchhoff 函数 $M$ 在零点退化（即 $M(0) = 0$），解依然存在，这扩展了以往要求 $M(t) \geq m_0 > 0$ 的结果。
• 无需使用 Ambrosetti-Rabinowitz 条件，从而允许更一般的非线性项 $f(u)$，其增长为亚临界或临界。
• 作者通过 Simon 不等式与一致可积性论证，建立了在加权 Sobolev 空间 $W$ 中 Palais-Smale 序列的强收敛性。
• 通过 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式控制非局部项 $\mathcal{I}_\mu * F(u)$，确保其在对偶空间中的有界性。
• 证明依赖于嵌入 $W \hookrightarrow L^p_V(\mathbb{R}^N)$ 的紧性以及范数的弱下半连续性，二者共同保证了极小化子的存在。