[论文解读] Existence of solutions for singular double phase problems via the Nehari manifold method

Wulong Liu, Guowei Dai+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文通过在 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中使用 Nehari 流形方法，建立了涉及奇异项 $u^{-\ho}$ 和参数项 $λ u^{r-1}$ 的奇异双相椭圆问题至少存在两个弱解的存在性。对于足够小的 $λ > 0$，一个解具有负能量，另一个具有正能量，通过纤维化方法和在 Nehari 流形上的约束最小化得以证明。

ABSTRACT

In this paper we study quasilinear elliptic equations driven by the double phase operator and a right-hand side which has the combined effect of a singular and of a parametric term. Based on the fibering method by using the Nehari manifold we are going to prove the existence of at least two weak solutions for such problems when the parameter is sufficiently small.

研究动机与目标

• 建立具有奇异和参数非线性项的双相椭圆拟线性问题多重弱解存在的证明。
• 将 Nehari 流形方法扩展至 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中的奇异双相问题，其中由于奇异项的存在，能量泛函并非 $C^1$ 类。
• 通过修改 Nehari 流形方法以处理双相算子的非平衡增长和奇异性，应对能量泛函非光滑的挑战。
• 证明当参数 $λ \in (0, \hat{\lambda}_0^*]$ 取值较小时，至少存在两个不同的弱解——一个具有负能量，一个具有正能量。

提出的方法

• 通过 Nehari 流形 $\mathcal{N}_\lambda$ 的纤维化方法识别能量泛函 $\varphi_\lambda$ 的临界点。
• 将 Nehari 流形定义为 $\mathcal{N}_\lambda = \{ u \in W^{1,\mathcal{H}}_0(\Omega) \setminus \{0\} : \langle \varphi_\lambda'(u), u \rangle = 0 \}$，作为寻找非平凡解的自然约束。
• 基于纤维化函数的二阶导数，引入分解 $\mathcal{N}_\lambda = \mathcal{N}_\lambda^+ \cup \mathcal{N}_\lambda^-$，以区分具有不同能量行为的解。
• 在 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 上应用约束最小化，通过下半连续性和弱收敛性论证获得具有正能量的第二个解。
• 建立 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 中的极小化序列 $\{v_n\}$ 弱收敛于极小化元 $v^*$，并利用弱下半连续性和纤维化条件中的严格不等式，证明 $v^*$ 为弱解。
• 通过反证法证明解 $v^*$ 几乎处处在 $\Omega$ 上为正：假设 $v^*=0$ 在正测度集上成立，将导致能量差商趋于 $-\infty$，与极小性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nehari 流形方法能否被调整以处理因 $u^{-\gamma}$ 项导致能量泛函不连续可微的奇异双相问题？
• RQ2 具有非平衡增长和奇异非线性项的双相算子是否在小参数值 $λ$ 下至少存在两个弱解？
• RQ3 这两个解的能量行为如何？是否可在 Nehari 流形中找到一个负能量解和一个正能量解？
• RQ4 基于 Nehari 流形的纤维化方法如何确保在 Musielak-Orlicz-Sobolev 空间中而非标准 Sobolev 空间中存在多个解？
• RQ5 尽管存在奇异项，是否仍可证明第二个解在 $\Omega$ 几乎处处为正？

主要发现

• 存在 $\hat{\lambda}_0^* > 0$，使得对所有 $\lambda \in (0, \hat{\lambda}_0^*]$，问题 (1.3) 至少存在两个弱解 $u^*, v^* \in W^{1,\mathcal{H}}_0(\Omega)$。
• 一个解 $u^*$ 满足 $\varphi_\lambda(u^*) < 0$，通过在 $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上的最小化获得，且在 $\Omega$ 几乎处处为正。
• 第二个解 $v^*$ 满足 $\varphi_\lambda(v^*) > 0$，通过在 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 上的最小化获得，且在 $\Omega$ 几乎处处为正。
• Nehari 流形分解 $\mathcal{N}_\lambda = \mathcal{N}_\lambda^+ \cup \mathcal{N}_\lambda^-$ 对于区分具有不同能量水平的解至关重要。
• 证明依赖于严格不等式 $ (p+\gamma-1)\|\nabla v^*\|_p^p + (q+\gamma-1)\|\nabla v^*\|_{q,\mu}^q - \lambda(r+\gamma-1)\|v^*\|_r^r < 0 $，该不等式排除了等号成立的可能性，从而确保 $v^* \in \mathcal{N}_\lambda^-$。
• 通过反证法证明 $v^*$ 的正性：假设 $v^*=0$ 在正测度集上成立，将导致能量差商趋于 $-\infty$，与 $m_\lambda^-$ 的极小性矛盾。