[论文解读] Existence of solutions to fractional differential equations with three-point boundary conditions at resonance with general conditions

Bin‐Bin He|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文在无需先前研究中使用的限制性算子条件 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 和 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$ 的情况下，建立了希尔伯特空间中分数阶三点边值问题在共振情形下解的存在性。通过使用有界线性算子的广义逆和一致度理论，作者在一般条件下证明了至少存在一个解，将先前结果推广至具有任意有限维核的无穷维空间。

ABSTRACT

This paper presents a new technique to investigate the existence of solutions to fractional three-point boundary value problems at resonance in a Hilbert space. Based on the proposed method, the restricted conditions $A^2ξ^{2α-2}=Aξ^{α-1}$ and $A^2ξ^{2α-2}=I$ on the operator $A$, which have been used in \cite{Zhou2}, are removed. It is shown that the system under consideration admits at least one solution by applying coincidence degree theory. Finally, an illustrative example is presented.

研究动机与目标

• 解决在核维数任意时，无穷维空间中分数阶三点边值问题在共振情形下存在性结果的空白。
• 消除先前研究中对算子 $A$ 所施加的限制性假设 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 和 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$。
• 将一致度理论的适用性扩展至 $l^2$ 空间中具有三点边条件的分数阶微分方程共振问题。
• 为分数阶与经典二阶微分系统在共振情形下提供一个通用框架。

提出的方法

• 在无穷维空间中利用有界线性算子的广义逆，构造必要的投影算子。
• 应用莫文的一致度理论，分析共振背景下解的存在性。
• 通过 $\mathcal{M}$ 算子的 Moore-Penrose 广义逆引入一个新的投影算子 $Q$，避免依赖幂等性或恒等条件。
• 利用性质 $\mathcal{M}^{+}\mathcal{M} = I - \mathcal{M}\mathcal{M}^{+}$ 对空间进行分解，并定义投影算子 $Q$。
• 通过验证一致度定理的条件，特别是 Nemytskii 算子的紧性和算子 $L$ 的弗雷德霍姆性质，确立解的存在性。
• 使用向量 $e = (0,0,\sigma_1,0,0,\sigma_2,\dots)^T$ 通过内积 $\langle e, QN(e t^{1/2}) \rangle > 0$ 检验解的非退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 或 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$ 的前提下，建立分数阶三点边值问题在共振情形下解的存在性？
• RQ2 如何将一致度理论适配于核维数为任意有限维的 $l^2$ 空间中的共振问题？
• RQ3 有界线性算子的广义逆能否替代构造投影算子 $Q$ 时对幂等性或恒等条件的需求？
• RQ4 在核维数不限于 1 或 2 的情况下，哪些条件可确保至少存在一个解？

主要发现

• 本文证明了在 $l^2$ 空间中，分数阶三点边值问题在共振情形下至少存在一个解，且无需依赖限制性条件 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 或 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$。
• 当 $\alpha = 1/2$，$\xi = 1/4$，且算子 $A$ 由矩阵 $B$ 定义时，条件 (A1) 和 (A2) 不成立，证实了新方法的普遍性。
• 内积 $\langle e, QN(e t^{1/2}) \rangle > 0$ 严格为正，验证了一致度定理中的存在性条件。
• 即使核维数为任意正整数，解依然存在，不再局限于先前研究中限定的 1 或 2 维核。
• 该结果将先前在 $\mathbb{R}^n$ 中对二阶微分系统存在定理的结果推广至分数阶和无穷维情形。
• 该方法可推广至其他共振问题，例如 $D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}}x(t) = f(t,x(t),D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}-1}x(t))$，其中 $x(0) = \theta$，$D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}-1}x(1) = A D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}-1}x(\xi)$。