[论文解读] Existence of strong solutions for the compressible Ericksen-Leslie model

Xiangao Liu, Lanming Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用 13

一句话总结

本文在初始数据满足自然的正则性和相容性条件的前提下，于有界区域中建立了可压缩Ericksen-Leslie模型局部强解的存在性与唯一性。此外，通过Sobolev空间中的逐次逼近法，证明了小初值下的全局存在性，并给出了初始数据扰动下解的收敛性与连续性结果。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence and uniqueness of local strong solutions of the hydrodynamics of nematic liquid crystals system under the initial data satisfying a natural compatibility condition. Also the global strong solutions of the system with small initial data are obtained.

研究动机与目标

• 建立可压缩Ericksen-Leslie系统在初始与边界条件下局部强解的存在性与唯一性。
• 在适当Sobolev范数下对初值作小量假设，证明强解的全局存在性。
• 证明解在Sobolev空间中对初始数据的连续依赖性。
• 将逐次逼近方法推广至涉及流体-结构相互作用模型中速度、密度与取向场耦合系统的求解。

提出的方法

• 采用Sobolev空间中的逐次逼近法构造解，通过精细估计速度场与取向场之间耦合项的性质。
• 该方法依赖于能量估计与Gronwall型不等式，以控制密度、速度与指向场随时间的范数。
• 关键估计建立了指向场 $ d $ 的 $ H^2 $-范数与速度场 $ u $ 的 $ H^2 $-范数之间的相互控制关系，从而实现迭代过程中的范数控制。
• 为确保强解正则性，引入涉及初始力场 $ g \to L^2 $ 的相容性条件，以保证 $ \rho^{1/2} u_t(0) $ 有界。
• 通过证明小初值导致能量估计在时间上一致有界，从而避免解的爆破，获得全局存在性结果。
• 在小时间区间内，利用指数衰减估计与参数的小量性，通过压缩映射原理证明迭代格式的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可压缩Ericksen-Leslie系统存在唯一的局部强解？
• RQ2 解在Sobolev范数下如何连续依赖于初始数据？
• RQ3 能否在 $ W^{1,6} \times H^2 \times H^3 $ 中对小初值构造全局强解？
• RQ4 初始力场的相容性条件在保证解正则性方面起何作用？
• RQ5 在迭代格式中，如何控制流体动力学参数与向列序参数之间的耦合？

主要发现

• 在正则性假设 $ \rho_0 \in W^{1,6}, u_0 \in H^1_0 \cap H^2, d_0 \in H^3 $ 及涉及 $ g \in L^2 $ 的相容性条件下，存在唯一局部强解，定义于小时间区间 $ (0, T^*) $。
• 解具有完整正则性：$ \rho \in C([0,T^*]; W^{1,6}) $，$ u \in C([0,T^*]; H^1_0 \cap H^2) $，$ d \in C([0,T^*]; H^3) $，且 $ \sqrt{\rho} u_t \in C([0,T^*]; L^2) $。
• 解对初始数据连续依赖：当 $ (\widetilde{\rho}_0, \widetilde{u}_0, \widetilde{d}_0) \to (\rho_0, u_0, d_0) $ 在 $ W^{1,6} \times H^2 \times H^3 $ 中时，所有相关范数差趋于零。
• 对满足 $ \|\rho_0 - \alpha\|_{W^{1,6}} + \|u_0\|_{H^2} + \|d_0 - m\|_{H^3} + \|g\|_{L^2}^2 \leq \theta $ 的小初值，其中 $ \theta \in (0, \theta_0] $，全局强解对所有时间存在。
• 迭代格式的收敛性源于收缩估计，其收缩因子有界于 $ 1/2 $，该结果通过选择足够小的 $ \theta_0 $ 与 $ \eta $ 实现。
• 证明依赖于 $ \|u\|_{H^2} $、$ \|d\|_{H^3} $ 与 $ \|\rho\|_{W^{1,6}} $ 之间的精细相互作用，估计结果表明 $ \|u\|_{H^2}^2 \lesssim \theta^{1/6} $，$ \|d\|_{H^3}^2 \lesssim \theta^{1/2} $，且 $ \|\rho\|_{W^{1,6}} \lesssim \theta^{1/2} $。