[论文解读] Existence of tracial states on reduced group C*-algebras

Brian Forrest, Nico Spronk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文確立了局部緊群的約化群 C*-代數上跡態存在的必要與充分條件。證明指出，對於緊生成群——特別是幾乎連通或核群——跡態存在的充要條件是群為可約群，從而解決了算子代數中的一個關鍵問題，並透過使用可約跡與張量積對偶性的新證明方法，推廣了 Ng 的結果。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. It is not always the case that its reduced C*-algebra $C^*_r(G)$ admits a tracial state. We exhibit closely related necessary and sufficient conditions for the existence of such. We gain a complete answer when $G$ compactly generated. In particular for $G$ almost connected, or more generally when $C^*_r(G)$ is nuclear, the existence of a trace is equivalent to amenability. We exhibit two examples of classes of totally disconnected groups for which $C^*_r(G)$ does not admit a tracial state.

研究动机与目标

• 確定局部緊群 $G$ 的約化 C*-代數 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 上跡態存在的必要與充分條件。
• 解決問題 1.1：當 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 允許跡態時，特別是針對緊生成與幾乎連通群。
• 證明對於核 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$，跡態存在的條件與 $G$ 的可約性等價，從而以新證明方式推廣 Ng 的結果。
• 構造兩類完全不連通群的例子，使得 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 不允許跡態，從而強調群結構在跡態存在性中的作用。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)^{*}$ 與約化傅里葉-史蒂爾傑斯代數 $\mathrm{B}_{r}(G)$ 之間的對偶性，將跡態識別為在共軛作用下不變的正定函數。
• 透過將映射 $a \otimes b^{\mathrm{op}} \mapsto \tau(ab)$ 延拓至最小張量積 $\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{A}^{\mathrm{op}}$，應用可約跡的概念。
• 使用 GNS 構造與 $\mathcal{A}_{1}/\mathcal{N}$ 的希爾伯特空間完備化，將跡態實現為表示空間上的向量態。
• 透過反同構 $f \mapsto \tilde{f}$ 利用 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 的對稱性，將 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 與其對偶代數連結。
• 應用限制定理與費爾的誘導連續性，當 $N$ 為可約群時，將 $\mathrm{A}(G/N)$ 嵌入 $\mathrm{B}_{r}(G)$。
• 應用事實：若 $1 \in \mathrm{B}_{r}(D)$ 對 $D \cong G$ 成立，則 $G$ 為可約群，此結果源自 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G \times G)$ 上存在態的推論。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部緊群 $G$ 的約化 C*-代數 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 在何種情況下允許跡態？
• RQ2 當 $G$ 為緊生成或核群時，$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 上跡態存在的條件是否與 $G$ 的可約性等價？
• RQ3 我們能否表徵那些使得 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 不允許跡態的完全不連通群的類別？
• RQ4 可約跡的存在性與 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 及群 $G$ 的結構有何關聯？
• RQ5 $\mathrm{B}_{r}(G)$——約化傅里葉-史蒂爾傑斯代數——在檢測跡態中扮演何種角色？

主要发现

• 對於緊生成群，$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 上跡態存在的條件與 $G$ 的可約性等價。
• 對於幾乎連通群或當 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 為核代數時，$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 上跡態存在的條件與 $G$ 的可約性等價，從而確認了核情形下的猜想。
• 本文提供了 Ng 定理的新證明：局部緊群 $G$ 為可約群，當且僅當 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 為核代數且允許跡態。
• 本文構造了兩類完全不連通群，使得 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 不允許跡態，其中包括 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$（$n \geq 2$），其為型 I 且核代數，但非可約群。
• 證明若 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ 允許可約跡態，則 $G$ 必為可約群，此結論透過 $1$ 嵌入 $\mathrm{B}_{r}(G \times G)|_D$ 的方式得出。
• 該結果可推廣至 $\mathbb{Q}_p$ 上的代數線性群，如 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$，其為緊生成、核代數但非可約群，因此不允許跡態。