[论文解读] Existence of weak solutions for compressible Navier-Stokes equations with entropy transport

David Maltese, Martin Michálek+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 30

一句话总结

本文建立了可压缩纳维-斯托克斯方程在可变熵条件下全局弱解的存在性，其中熵通过输运方程演化而非能量方程。通过三种形式化方法——熵输运、重正化输运和压力参数演化——作者在初始数据假设最小的前提下，证明了最优范围的绝热指数 $\gamma > 1$ 下的解的存在性，利用紧致性与重正化技术。

ABSTRACT

We consider the compressible Navier-Stokes system with variable entropy. The pressure is a nonlinear function of the density and the entropy/potential temperature which, unlike in the Navier-Stokes-Fourier system, satisfies only the transport equation. We provide existence results within three alternative weak formulations of the corresponding classical problem. Our constructions hold for the optimal range of the adiabatic coefficients from the point of view of the nowadays existence theory.

研究动机与目标

• 建立可压缩纳维-斯托克斯系统在可变熵由输运方程控制时全局时间弱解的存在性。
• 分析三种等价的弱形式化方法：熵输运、重正化输运和压力参数演化，以澄清解概念及其相互依赖关系。
• 将迪佩纳-利翁斯重正化技术推广至具有可变熵和最优 $\gamma$-范围的系统。
• 通过采用压力参数形式化与稳定性分析，克服真空形成及密度缺乏一致可积性带来的挑战。

提出的方法

• 采用压力 $p = \varrho^\gamma \mathcal{T}(s)$ 的形式，其中 $\mathcal{T}(s)$ 光滑且严格正，熵 $s$ 通过输运方程演化。
• 引入压力参数 $Z = \varrho [\mathcal{T}(s)]^{1/\gamma}$，将系统重新表述为以 $Z$ 为变量的形式，从而实现熵演化与密度的解耦。
• 通过在压力律中引入 $\delta$-扰动的黏性正则化构造近似解：$p_\delta = (\varrho \theta_\delta)^\gamma + \delta (\varrho \theta_\delta)^\beta$，其中 $\beta > \max\{\gamma, 4\}$。
• 对 $\theta_\delta = Z_\delta / \varrho_\delta$ 的输运方程应用迪佩纳-利翁斯重正化技术，确保熵相关量的稳定性。
• 利用散度-旋度引理与 $L^2$ 中的弱紧致性，令 $\delta \to 0^+$ 取极限，恢复原始系统的弱解。
• 建立 $Z_\delta$ 在 $L^q$ 中的强收敛性（$q < \gamma + \theta$），并得到 $\zeta_\delta = \theta_\delta^{-1}$ 的弱*收敛性，从而在动量方程与连续性方程中实现极限通过。

实验结果

研究问题

• RQ1 当熵通过输运方程演化而非能量方程时，可压缩纳维-斯托克斯系统是否存在弱解？
• RQ2 在该熵输运模型下，全局弱解存在的最优绝热指数 $\gamma$ 范围为何？
• RQ3 在解的存在性与正则性方面，熵输运、重正化输运与压力参数演化这三种不同弱形式化之间有何关联？
• RQ4 迪佩纳-利翁斯重正化方法能否被适配至具有可变熵与非一致可积密度的系统？
• RQ5 在可能出现真空态的情况下，为实现黏性逼近中的极限通过，需要哪些紧致性与稳定性技术？

主要发现

• 对于所有 $\gamma > 1$，可压缩纳维-斯托克斯系统在熵输运模型下存在全局时间弱解，该范围为当前存在性理论中的最优范围。
• 解通过在压力律中引入 $\delta$-正则化的黏性逼近构造，确保了 $\varrho_\delta$ 与 $Z_\delta$ 的一致有界性。
• 建立了 $Z_\delta$ 在 $L^q$ 中（$q < \gamma + \theta$）的强收敛性，从而实现了非线性压力项 $Z^\gamma$ 的极限通过。
• 弱极限 $\zeta = \theta^{-1}$ 在 $L^\infty$ 中有界，且对偶对 $(\zeta, \bm{u})$ 在弱与重正化意义下满足输运方程 $\partial_t \zeta + \bm{u} \cdot \nabla \zeta = 0$。
• 极限解满足连续性方程 $\partial_t \varrho + \operatorname{div}(\varrho \bm{u}) = 0$ 与以压力 $p = \varrho^\gamma \mathcal{T}(s)$ 表示的动量方程，在分布意义下成立。
• 费雷尔斯与 [11] 的稳定性结果被推广并应用，以证明近似解的收敛性，从而完成熵输运形式化下该系统的存在性证明。